記号の世界ゟ

このブログでは, 数学書などの書評を書きます。また、受験などの勉強法をまとめます。

Σの公式の秘密

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今回は、数列の単元のΣの公式について書きます。

Σの公式を覚えていますか

高校生や高校生だったみなさんの中には、k^2k^3などの和の公式、いわゆるΣの公式に悩まされた(いる)人が多いのではないのでしょうか?
具体的には、以下のようなものでした。
  { \displaystyle
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k &= \frac{1}{2} n (n + 1) \tag{1}\\
\sum_{k=1}^n k^2 &= \frac{1}{6} n (n + 1)(2n+1) \tag{2}\\
\sum_{k=1}^n k^3 &= \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2 \tag{3}
\end{align}
}

これらの公式の何が難しいって、微妙に規則的ではないところですね。
本質的な公式ではないことが予想されます。
何かもっと美しい和の公式はないのかなぁ(溜息)。

美しき超Σ公式

さっそくですが、以下の公式を見てください。
  { \displaystyle
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k &= \frac{1}{2} n (n + 1) \tag{4}\\
\sum_{k=1}^n k(k+1) &= \frac{1}{3} n (n + 1)(n+2) \tag{5}\\
\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) &= \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3) \tag{6}
\end{align}
}
明らかな規則性があって非常に綺麗です(歓喜)。
この公式の裏には何かが隠れていると想像ができますね。
とりあえず式(4)(5)(6)を"超Σ公式"とでも呼ぶことにしましょう。(適当です。)
この公式は、Σ公式でも証明できますし、数学的帰納法でも証明できます。
また、超Σ公式から、Σ公式を証明することができます。
とは言え、超Σ公式は使いにくいです。
今回の目的は、超Σ公式の裏には何があるかを解明することです。

超Σ公式の解釈

さて、まずは超Σ公式を一般的な形に書いておきましょう。
式(4)は1乗,、式(5)は2乗、式(6)は3乗に対応していますね。
 m乗の超Σ公式は以下のように書けます。
 {\displaystyle
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k+1)\cdots (k+m -1) = \frac{1}{m+1} n(n+1)\cdots (n+m) \tag{7}
\end{equation}
}
この一般的な公式(7)を解釈するわけです。
いろいろ考えられそうです。みなさんも考えてみてください。

残念ながら、僕には場合の数による解釈しかできませんでした。
これを説明します。
n個の区別がつくものからm個を選び並べる場合の数を _nP_mとします。
これを用いると、式(7)は
 {\displaystyle
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n {}_{k+m-1} P_m = \frac{1}{m+1} {}_{n+m} P_{m+1} \tag{8}
\end{equation}
}
と書けます。
場合の数の公式と見るには、式(8)を変形してみましょう。
 {\displaystyle
\begin{equation}
{}_{n+m} P_{m+1} = (m+1) \sum_{k=1}^n {}_{k+m-1} P_m \tag{9}
\end{equation}
}
この式(9)は右の添字を一つ下げて Pを計算する公式とみることができます。
これに近いことは Cでもありました。

場合の数の公式を思い出す。

以下 n > mとします。
パスカルの三角形から簡単に得られる以下の公式を思い出しましょう。
 {\displaystyle
\begin{equation}
{}_{n+1} C_{m+1} = {}_n C_m + {}_n C_{m+1} \tag{10}
\end{equation}
}
この公式は、場合の数としても解釈できます。
つまり、 n+1個からm+1個を選ぶとき、任意の一つを考えて、
それが含まれる場合は残りn個からm個選ぶ場合の数、それが含まれないときは残りn個からm+1個を選ぶ場合の数、それらを足せば良いという公式です。

同様に考えると、この公式の Pのバージョンは
 {\displaystyle
\begin{equation}
{}_{n+1} P_{m+1} = (m+1) {}_n P_m + {}_n P_{m+1} \tag{11}
\end{equation}
}
となることが分かります。
これを繰り返す使うと、
 {\displaystyle
\begin{align}
{}_{n+1} P_{m+1} &= (m+1) {}_n P_m + {}_n P_{m+1}  \\
&= (m+1) {}_n P_m + (m+1) {}_{n-1} P_{m} + {}_{n-1} P_{m+1} \\
&= \dots \\
&= (m+1) {}_n P_m + (m+1) {}_{n-1} P_{m} + \cdots + (m+1) {}_{m+1} P_{m} + {}_{m+1} P_{m+1} \\
&= (m+1) ( {}_n P_m +  {}_{n-1} P_{m} + \cdots + {}_{m+1} P_{m} + {}_{m} P_{m}) \\
&=(m+1) \sum_{k=1}^{n - m + 1} {}_{k+m-1} P_m\tag{12}
\end{align}
}
となります。
途中で {}_{m+1} P_{m+1} = (m+1) {}_{m} P_{m}を使っていることに注意。


式(12)のn+1n+mに書き換えることで・・・
超Σ公式(9)が導かれます。
お疲れ様でした。


・・・まあ、公式(12)自体は重要ではあるので悪くはないですが、k^mの和公式としてはどうでしょう。
もっといい解釈をご存知な方は是非教えていただけると嬉しいです。

おまけ

式(12)の形では分かりにくいので、例を最後に示しておきます。
 {\displaystyle
\begin{align*}
{}_6 P_2 &= 2({}_5 P_1 + {}_4 P_1 + {}_3 P_1 +{}_2 P_1 + {}_1 P_1) = 30\\
{}_5 P_3 &= 3({}_4 P_2 + {}_3 P_2 + {}_2 P_2) = 60 \\
\end{align*}
}
いかがでしょうか。

 

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手帳初心者が1ヶ月続けて気がついたこと

使ったのはシステム手帳

 これまで予定は全て頭に入れていたのですが、手帳ってかっこいいな{・λ・}と思ったのでシステム手帳を買ってしまいました。(下の画像が使っている手帳です。) 実は手帳を使ったことはあるのですが、すぐに使わなくなることが多かったんです。持続するためにも、ある程度値段がするシステム手帳を選んだという面もありますね。

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手帳に書いたことは忘れても良い、このことが手帳の一番の良さだと思います。予定は頭に入れておく習慣があったので、始めは手帳の使い方が分からなかったです。でも、最近は慣れてきましたね。

続けられないかなあと思ったのですが、ウィークリーページに一言日記をつけると意外にも続けることができています。ポイントは、書かない日があっても気にしないことです。

目標を書いておいて、達成するごとに線で消していく、これが手帳を使い始めて一番良かった点ですね。やるべきことが、一目で分かる。素晴らしい。

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ウィークリーページは、右側が自由に書けるタイプのものを使っています。このページには、次の日やろうと思っていることを書いたりしています。実際にできたかどうかで反省もできます。右に日記を書いています。

気がついた改善点

1ヶ月システム手帳を使ってみて、いくつか改善点が見えてきました。

先の月のページはいらない

 もちろん予定を書くマンスリーページは必要なのです。しかし、毎日の予定や記録を書くウィークリーページは、先の週まで書くことはほとんどありません。ウィークリーページはかさばるので、2,3ヶ月分ぐらいを残してそれ以降は取り外しました。入れ替える必要があるため、面倒になるとできないかもしれませんね。抜いた分メモページを入れることができました。

目標は細かく書く

やるべき事や目標は細かく書きましょう。そうしないと達成できたか分からないです。また、目標を書き込んだときに、達成するための計画も考えることが大事だと思いました。全体像をみて、いつ何をやるべきか、細かく書き込んでおくといいでしょう。やり遂げられる計画が立てられないのならば、きっとその目標は今はできないということが分かります。

イデアを書きまくる

始めは予定を書くことばかり考えていました。しかし、手帳の良さは「常に手元にある」ことや「パッと見返すことができる」ことだと思います。つまり、ちょっとしたことでも書くことができますし、いつでも見返すことができます。

予定がわかった時点で書き込む

手帳初心者の僕はこれが一番できていない気がします。予定が決まってから3日後くらいに書いたりしてます。多分まだ習慣になっていないだけなので、予定→すぐに書く、この条件反射を身につけることが次の目標です。

なんと言っても毎日見る

せっかく書き込んだ予定も見なければ意味がありません。「そういえば、これ昨日する予定だった」みたいなことが何度もありました。それに、手帳を見たら何か書こうという気にもなります。

 

ここまで読んでくださって、ありがとうございます。

できれば、他の記事も読んでくださると嬉しいです。

 

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「正則関数」という用語を使うの止めたい

「正則関数」の何がおかしいか

複素関数論を勉強して少し経ってから、正則関数という用語がおかしい、もっと言うと誤訳であることに気がつきました。ついでに言うと、有理型関数というのもあまり良くない用語でしょう。これらについて、どこがおかしいかを述べ、改善案を示します。

 まず、前提知識を説明しておきます。一般に「正則関数」は「holomorphic function」の訳であると考えている人が多いです。しかし、こう考えると明らかな誤訳です。「正則関数」は「holomorphic function」の訳ではありません。

 

「正則関数」は「regular analytic function」の訳である

上記の通りです。

このことは高木貞治の『解析概論』に書いてあります。もう少し言うと、regular analytic function つまり「正則な解析関数」が正確な訳ですが、『解析概論』で単に正則関数と呼ぶと書いてあります。僕は、この高木先生の訳を何も考えず使っている人が多いのだと考えています。高木先生は regular analytic function だと考えているので全く問題はないのですが、holomolphic の訳だと考えている人がほとんどなのが問題なのです。ちなみに regular analytic function という用語は、例えば、Weylの『The concept of a Riemann surface』でも用いられています。holomorphic のどこにも「正則」という語がないにも関わらず、「正則関数」と呼ぶのには、そもそもの英語が horomorphic ではなくregular analyticだからなのです。

 それにも関わらず、「正則関数」は holomorphic function であるという説明しかしていない日本語の本ばかりなのは、問題なのではないのでしょうか? 確かに用語が指す対象は同じなのですが、その用語を使う意識は全く違います。

「holomorphic」と「meromorphic」の意味について

 holomorphic はギリシャ語の holos と morphe からなる造語です。 holosは「全体」を表すギリシャ語であり, morpheは「形」を表す言葉です。morphismという語を数学ではよく使うので morphe の方は馴染みがあるでしょう。単に一点でテイラー展開できることを表すなら analytic でいいので, holomorphic function は考えている領域全体テイラー展開できることを強調する用語と解釈できます。

 一方、meromorphic は meros とmorphe からなる造語です。ネットで調べてみると、meros が「比」の意味だと考えておられる方がいましたが、これは「部分」の意味であることは間違いないでしょう(専門用語の辞書によると、生物学などの専門用語で moros を使う場合も「部分」の意味らしい。) 実際、meromorphic function は孤立特異点以外ではテイラー展開できる(さらに、その孤立特異点は極である)ものでした。

「meromorphic」を「有理型」と訳すことがダメな理由

meromorphic を「有理型」と訳すことや、meromorphic の meros が「比」であると解釈することには共通の認識があると考えています。複素平面において、meromorphic function は holomorphic function の商で書けるという性質があります。これが「有理関数」との類推から上で述べたような認識の原因となっているのでしょう。確かに、「有理型関数」を初めからそのような認識で捉えるなら、それほど悪くはないのかもしれません。しかし、この性質はそれほど簡単ではない(基本的ではあるが、教えない授業も多いはず)です。そもそも meromorphic の訳としては全くダメです。

 もっというと、リーマン球面上の有理型関数は複素平面上で有理関数であるという性質もあります。これのせいで、有理関数と有利型関数がごっちゃになるという教育上の欠点があります。おそらく、holomorphic と meromorphic が対比されていることを日本語で気がつくことは不可能でしょう。教育的にも、holomorphicは「全体」、meromorphicは「部分」というように定義からすぐ結びつく用語を採用することが必要でしょう。

私の考える対案

それでは、どのような用語にすればいいかを考えてみます。

 まず、岩波基礎講座では holomorphic は「整型」、meromorphicは「有理型」が使われていますね。「正則関数」よりはずいぶん良い訳です。morpheに対応して、共に「型」の言葉が使われていることも非常に良いです。ただ、「有理型」が他の言葉にできないかとは考えたくなります。

 僕は、用語の作り方、特に、翻訳語については中国語に従えばたいてい問題ないと考えています。中国語では、holomorphic は「全純」、meromorphicは「亜純」という用語を採用しており、上で述べた私の解釈と同じであることが分かります。岩波のようにmorpheの対応はないものの、さすが中国という感がありますね。

 僕の結論としては、「整型関数」を採用し「有理型関数」を他の用語にする、もしくは、中国の訳を使うあたりで良いかなと思います。二つの良いところをとって、「整型関数」と「亜整型関数」でもそんなに悪くないと思います。

 

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あたりまえだけど、とても大切なこと

タイトル あたりまえだけど、とても大切なこと 子どものためのルールブック

著者 ロン・クラーク

訳者 亀井よし子

出版社 草思社

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ルール1 大人の質問には礼儀正しく答えよう

ルール4 人の意見や考えを尊重しよう

ルール15 宿題は必ず提出しよう

などなど・・・

これらは小さいときに、親や先生から何度も言われてきたのではないでしょうか?

この本は、アメリカの素晴らしい小学校教師であるクラークさんが、小学校の担当クラスで実際に採用しているルールを、感動的なエピソードとともに紹介するものです。

 

クラークさんは、ここで紹介するルールは単に学校生活のためではなく、子ども達の将来のために身につけるべき習慣であると考えています。

例えば、ルール1は、人に対して敬意を持って接すること、そのことは大人とコミニュケーションをとるための便利な「道具」であるとの考えからきたものです。

この本で書かれているルールは、人のため自分のためになるものばかりだけど、ついつい忘れがちのことばかりです。

実際、この本を読んでずいぶん考えさせられました。

これらのルールを実行できる人が増えれば、世界はもっと幸せになるでしょう。

人間愛が詰まった本だと僕は思います。

 

この本を魅力的にしているのは、クラークさんの人間性と実際の教員生活で出会ったエピソードでしょう。

小学校ですから、思わぬ困難もあるのですが、クラークさんがどう立ち向かったか、小学生と共にどのように乗り越えていったか。

ルールの大切さがエピソードによって引き立っています。

学校を離れた日常生活での、クラークさんの個人的なエピソードも印象的なものが多いです。

 

僕は、たくさんの人にこの本を読んでほしいと思います。

子どもではなく、むしろ大人で必要とする人が多いでしょう。

そして、この本が人生の指針となることでしょう。

おまけ

教育に興味がある人や教員の人は

ルール42 学校に<ドリトス>をもってこない!

というルールについて考えてほしいと思います。

このルールは教育実践において大切な視点があり、また非常に応用がきくものであると思います。

このルールの意図が気になったら、ぜひこの本を手にとってください。

 

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関数論の古くて新しい視点 アンリ・カルタン「複素関数論」

タイトル  Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables

著者 Henri Cartan

出版社 Dover

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 私が複素関数の面白さに目覚めた本

ブルバキのメンバーのアンリ・カルタンによる複素関数論の本です。
 特徴としては、
  1. 形式ベキ級数の理論をフルに使った導入
  2. 微分形式を前提にした積分
  3. 多変数関数, 楕円関数, 微分方程式と様々な話題が書かれている
などが挙げられます。英語の本ですが翻訳もあるみたいです。
 

内容

 日本の講義や本では形式ベキ級数の理論があまり扱われないと思います。
形式ベキ級数とは収束するとは限らない級数であり, その中でも収束する(収束半径が0でない)ものが複素関数論の主役です。
複素関数では正則な(微分可能な)関数は解析的なので, 形式ベキ級数の方が正則関数よりも一般的な概念となっていることにも注意してください。
一般的と言っても, ベキ級数だけで, 可逆元, 逆関数, 微分などの理論が簡単に扱えます。
その特殊なケースとして正則関数を考えることで, より正則関数の特徴を明確に理解することができます 。
 
数学の他の分野の理論が関数論でいかに使われるかということを知ることができます。
逆に言うと、想定する前提知識が少し多く、この本の欠点ではあるでしょう。
環や体の言葉を少し知っていないと読み辛いかもしれません。 
また、積分微分形式が使われているのは, この本を読む上で少しハードルになっているかもしれません。
また, 様々な話題が書かれていると言っても, 紹介だけで終わっているものもあります。

 まとめ

  • 新しい見方ができるようになる
  • 様々な話題を知ることができる
  • 複素関数論のテキストの1冊目としては難しいかも
複素関数論の2冊目の本としてはこれ以上のものは無いのでは?
このような素晴らしい本が安く買えるのはDoverの魅力ですね。

 

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これからの予定と読みたい数学書(ほぼ自分用)

書評ブログとして始めたましたが、2冊ぐらいの数学書と1冊の教育関係の本、それと漫画で紹介したいものがあります。

早めに書評を書きたいと思います。(と言うことで自分にプレッシャーをかけているのです。)

 

最近はBOOKOFFで本を大量買いしてしまったり、本屋で衝動買いしてしまったりしてるので、本が消費できないです。

本に囲まれて、ちびちび読んでいくのは楽しいんですが、やるべき課題との両立が大変です(^_^;)

 

さて、今回は自分が読みたいと思っている数学書をまとめるだけです。

なかなか読む時間がないので、誰かを誘って読むつもりです。

ただ、知られていない良書も結構あるので、気になるものがあれば是非調べてみてください。

  • Hartshorne, "Algebraic Geometry"
  • Hirsch, "Differential Topology"
  • Balser, "From Divergent Power Series to Analytic Functions"
  • 中村徹, "超準解析と物理学"
  • Gordon, "The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock"
  • Alinhac, Gerard, "Pseudo-Differential Operators and the Nash-Moser Theorem"
  • Davis, "Applied Nonstandard Analysis"
  • Nishioka, "Mahler Functions and Transcendence"
  • Bohner, Peterson, "Dynamic Equations on Time Scales"
  • Mac, Cheung, "Quantum Calculus"
  • 白岩謙一, "力学系の数理"
  • 滝沢精二, "多様体"

高額のタブレットじゃなくてもノートはとれる

iPadなどのタブレットの使い方を解説した文章はたくさんありますが、ノートをとるなど勉強にどう役立つかということをまとめた文章はあまりないと思います。そこで、今回はタブレットを意外にも簡単にノートとして使えるということをお伝えしようと思います。

結論を先に言ってしまうと、大事なことは

タブレット、アプリ、タッチペンの相性

なのです。それでは詳しく説明していきますね。

タブレットでノートをとる楽しさを知ろう

そもそも、タブレット端末でノートがとれるの? 太いペンで文字なんて書けないよ... なんて思われる方が多いと思います。確かにその感覚は正しいのです。紙とタブレットではノートをとる上で大きな違いがあります。その違いを理解した上で、タブレットでノートをとるメリットを最大限に生かすことが重要になります。

タブレットでノートをとることのメリット
  1. 補助機能により、ノートを作る点では紙よりも格段に楽
  2. 拡大縮小してみることができる
  3. データなので管理が用意
タブレットでノートをとることのデメリット
  1. アプリを開いたりファイルを作る必要があるので、さっと少しメモしたいときには向かなない
  2. 理解が深まるひらめくなどの、書く動作がもたらす心理的作用が紙よりも少ない
  3. 字が汚くなる

タブレットでノートをとったことがない人は、その機能の素晴らしさをイメージできないと思います。色やペンの太さの変更、マーカーペンや万年筆に変更など基本的だけど重要な機能はもちろんあります。また、カット&ペーストも綺麗なノートを作る上では非常に役に立ちます。

書きやすさと言う点でも不安を持つ必要はありません。例えば、アプリGoodNotesではズーム機能というものがあり、書く場所を拡大してくれます。しかも、書く場所をずらしたり、改行を自動的にしてくれるため、左から右に書くことを繰り返すだけでスラスラノートをとることができます(言葉にしづらいので写真をみてください)。

 

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上がノートです。下画面のズームされている部分に書いていきます。

 

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端まで書いてしまっても、青い部分から書き始めることができます。上画面にも注目。

 

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改行も上のこの写真の通り(伝わるかな?)

 

拡大縮小できるというのも当たり前のようで当たり前じゃないですよ。行間の小さいスペースにいくらでも文字が書けるので、pdfを読むときにたくさんメモすることができるのです。

管理が用意というのは言わずもがなですが、EvernoteDropboxを使えば、簡単に一元管理ができますね。

 

次にデメリットを見ていきましょう。メモを手で書きたいならタブレットは向いていません。ただ、紙に書くと紛失したり整理が難しいといったこともあるので、そんなときは素直にEvernoteを使いましょう。

僕は数学をやっているのですが、本で読んでも分からないことは自分の手で書いてみると(写すだけでも)、不思議と分かってくるということがあります。この感覚は数学者なら大体の人が持っているみたいですし、受験勉強などでこのような経験をしたことがある人が多いのではないかと思います。

残念ながら、タブレットで書いた場合だと、この現象が起こりにくい気がします。たんに慣れていないだけかもしれません。タブレットでノートをとることが普通になる世代では、もしかしたらタブレットでもこのような現象が起こるのかもしれないと考えています。

あと、紙で書くような字は書けません。これも練習次第かもしれません。

 

以上が紙とタブレットの違いです。知って欲しいことは、「タブレットだから書きにくい」ということはないということです。

 

ただし、タブレット、ペン、アプリしだいで使い心地は大きく違います。それでは、どのようなものを選べばいいのかを見ていきましょう。

オススメはiPad, Su-Pen, GoodNotes

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タブレットでノートをとるとなると、高いタブレットタッチペンが必要だと思う人が多いのではないでしょうか。 そうではないというのが僕の結論です。特に大切なのはどんなアプリを使うかです。

ここで、ノートをとる上で必要な要素は

  • ペンを感知する
  • 手に反応しない

の二つです。これを踏まえて、購入するものを選んでください。

 

まず、格安タブレットでなければ、だいたい大丈夫だと思います(安すぎるものは分かりません)。僕はiPad Airを使っていますが, Appleタブレットならどれでも大丈夫だと思います。ただし、できるだけ軽い機種にしないと持ち運びが大変になるので注意。

ペンは100円のものでも使えないことはないです。ただ、保護フィルムを貼るとペンの感知が著しく鈍くなります。また、高いペンほど感知がよくなります。僕は始め1000円ぐらいのタッチペンを使っていましたが、少しだけ反応が悪いときがあったので、評判のいいSu-Penに変えました。Su-Penでは保護フィルムを貼っても全く問題なく反応します。

 

次に、手に反応しないための方法を見ていきます。手に反応しないようにする機能はパームリジェクション機能といいます。一番安易な方法は、ペンとタブレットが連動するものを使う方法です。

例えば、Apple PencilやJot Scriptといったペンが有名ですね。これらをBluetoothタブレットに認識させることで確実にパームリジェクションを行うことができます。ただし、こういったペンは高価であることが欠点です。また、電池式や充電式であり普通のペンより重いことも、メモをとる上では大きな欠点です。

それでは普通のペンでパームリジェクションをするにはどうしたらいいのでしょう。答えは簡単でアプリに頼ってしまいましょう。実は無料のメモアプリでもパームリジェクションの機能がついているものがあります。しかし、僕の環境ではうまく機能しませんでした。

そこで、上でも述べたGoodNotesを購入しました。画像を見てもらうと分かるのですが、ズーム機能で書く場合、下の灰色の部分が反応しないようにできているので、手を置いてもなんの困難もなく文字が書けるのです。

 

タブレットやペンにお金を使いがちですが、少し良いアプリを使うだけで格段に使いやすくなるので、皆さんも試してみてください。

まとめ

いかがだったでしょうか。少なくとも、僕が使っている、iPad Air, Su-Pen, GoodNotesの組み合わせで快適にノートがとれることは保証します。上で書いた考え方を使えば、自分にあった組み合わせを見つけることができると思います。