ライプニッツ則と合成関数の微分

ライプニッツ則と合成関数の微分の関係について、少し書いておきます。

一般の体 $K$ を考えます。この体が微分体であるとは、関数 $\partial: K \to K$ があり、以下の２つの条件を満たすことを言います:
(i) (加法的) すべての $a ,\, b \in K$ に対して $\partial (a + b) = \partial (a) + \partial (b)$ が成り立つ。
(ii) (ライプニッツ則) すべての $a ,\, b \in K$ に対して $\partial (ab) = \partial (a) b + a\partial (b)$ が成り立つ。

さて、ライプニッツ則から商の微分などの公式を導くことができます。一方、微分体には「合成関数」の概念がないので、合成関数の微分は定義できません。しかし、多項式は定義できるので、多項式に代入するという見方をすることはできます。例えば、 $a^2 + a + 1$ は多項式 $x^2 + x + 1$ に $a$ を代入したものとみなすことができます。そうすると、多項式の合成関数の微分公式は証明することができます。つまり、微分体に対して、
(iii) すべての $a \in K$ と自然数 $n$ に対して、 $\partial (a^n) = n a^{n-1} \partial (a)$
が成り立ちます。一般の多項式の微分は(i)と(iii)で計算ができます。
逆に多項式の合成関数の微分公式からライプニッツ則を導くことができます。

命題
$K$ を標数０の体とする。また、関数 $\partial: K \to K$ があり、(i) を満たすとする。このとき、以下の３条件は同値:
(ii) (ライプニッツ則) すべての $a ,\, b \in K$ に対して $\partial (ab) = \partial (a) b + a\partial (b)$ が成り立つ。
(iii) すべての $a \in K$ と自然数 $n$ に対して、 $\partial (a^n) = n a^{n-1} \partial (a)$ 。
(iv) すべての $a \in K$ に対して、 $\partial ( a^2 ) = 2 a \partial (a)$ 。

証明. (ii)から(iii)が成り立つことは上で述べたが、簡単な計算でわかる。(iv)は(iii)で $n = 2$ としたときである。
よって、(iv)から(ii)が導けることを示す。 $(a + b)^2$ の微分を考えると、
$\partial ( (a+b)^2) = \partial (a^2 + 2ab + b^2) = \partial (a^2) + 2\partial (ab) + \partial (b^2) = 2a\partial(a) + 2 \partial (ab) + 2b\partial (b)$
最後の等式で(iv)を用いた。一方、最初に(iv)を使うと、
$\partial ( (a+b)^2) = 2(a+b) \partial(a+b) = 2(a+b)(\partial (a) + \partial (b)) = 2a\partial(a) + 2a\partial (b) + 2b\partial(a) + 2b\partial (b)$
となる。よって、(ii)が成り立つことがわかる。