今回は, 逆像の理解をモチベーションとして, 引き戻しと押し出しについて書きます.
細かいことを書くときりがないので, 曖昧な主張をしたり少し不具合の残る定義をしたりしますので, ご了承ください. (多様体などが例に出てきますが, 細かいところは関係ないので, うまく無視すれば, 写像さえ分かっていたら理解できる内容のはずです.)
逆像と像
を集合, をその部分集合とします. このとき, 写像 が与えられたなら, その逆像と像が定義できます. 逆像とは
で定まる の部分集合であり, 像は
で定まる の部分集合でした.
不思議なことに, 像よりも逆像の方が自然な概念です. このことは, 例えば, 位相空間の連続写像を, 像ではなくて逆像を使っていることから分かります. 他にも, 逆像では,
が成り立つ一方で, 像に関しては
は成り立つものの
では一般に等号が成り立ちません. これも, 逆像の方が像よりも自然であることの証拠です.
このことを説明するために, まずは, 「引き戻し(pull-back)」と「押し出し(push-forward)」という概念を説明します.
これが, 逆像が自然であることの一つの根拠を与えていると思っています.
引き戻しと押し出し
引き戻しと押し出しについて説明します. 写像 があった時に, これを用いて, から定まる集合から から定まる集合への写像を定めるのが引き戻しです. 逆に, から定まる集合から から定まる集合への写像を定めるのが押し出しです. これでは, ナンノコッチャ分からないので, 具体例を用いて説明します.
例1 双対ベクトル空間
を 上のベクトル空間とします. から への線形写像のなすベクトル空間を の双対ベクトル空間といい と書きます. 同様に の双対ベクトル空間 も定義できます.
さて, 線形写像 があったとします. このとき, 双対ベクトル空間の元 は線形写像 ですので, との合成写像を考えると, 新たな線形写像 を得ることができます. つまり, を用いて から への写像 が定義できます. などの他の合成はうまくいかず, から への写像は得られないことに注意しましょう.
例2 接空間
を の部分多様体とします. 多様体の各点では, 接空間と呼ばれるベクトル空間がくっついています. これを簡単に説明します. を通る曲線, すなわち
となる の集合を と書くことにします. この曲線の における方向のみを見たいので, に対して
によって同値を定めて, これによって における接空間 を定義します. の元 を における接ベクトルといいます. 各点での接空間を合わせて, の接空間を
と定義します. 同様に に対しても, や が定まります.
を多様体の写像とします. での接ベクトルを は, 同値類うんぬんのくだりを忘れると, 単なる写像 です. そこで, との合成をとることで, 写像 が定まります. に注意すると, は における曲線なので, における接ベクトル が定まります. そこで, と書くと, で定まる写像 が得られたことになります. この を接空間の押し出しと言います. などの合成はうまくいかず, から への写像は得られないことに注意しましょう. 双対ベクトル空間のときと比べ, 合成をとる順番が逆になっていることに注意しましょう.
これらの例で分かったことをまとめておきましょう. 写像 があったとします. さらに, を始域か終域にもつ写像の集合( と書くことにしましょう) があったとします. 双対ベクトル空間は, ベクトル空間を始域にもつ写像の集まりでした. 接空間は多様体を終域にもつ写像の集まりでした. すると, との合成を考えることで, (引き戻し) あるいは (押し出し) が得られます. ここで, どちらの写像が得られるかは, うまく と合成できるかで決まる, つまり, 写像の集まり の元が を始域か終域のどちらにもつかで決まります. このように, 引き戻しか押し出しが定義できるのですが, どちらになるかは自然に決まっているのです.
部分集合の写像による解釈
元の問題に戻って, 写像の逆像について考えます. 像にしろ逆像にしろ, 部分集合から部分集合への写像になっています. 前節の結果を用いるためには, 部分集合を写像として定義する必要があります. (写像の合成をするわけですから.) の部分集合 とは何だったのかというと, の各元が の中に入っているかどうかを決めるルールと考えることができます. つまり, 入っているを , 入っていないを と表すことにし, 集合 を用いると, の部分集合と, から への写像が一対一に対応します. から への写像の集合を と書くので, から への写像の集合を と書きます. よって, の部分集合のなす集合は と書けるわけです.
以上で準備はできました. 写像 があるとき, の部分集合のなす集合 を考えます. は 写像 なので, との合成を考えると, 新たな写像 が得られます(これは引き戻し). つまり, の部分集合から の部分集合への写像が前節での方法で得られたわけです. 特に, ( の部分集合としての) を表す の元を と書くと, こそが の部分集合である逆像 に対応することが簡単に分かります. これだけは絶対に自分でチェックしてください.