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記号の世界ゟ

このブログでは, 数学書などの書評を書きます。また、受験などの勉強法をまとめます。

逆像が像より自然な理由〜引き戻しと押し出し〜

今回は, 逆像の理解をモチベーションとして, 引き戻しと押し出しについて書きます.
細かいことを書くときりがないので, 曖昧な主張をしたり少し不具合の残る定義をしたりしますので, ご了承ください. (多様体などが例に出てきますが, 細かいところは関係ないので, うまく無視すれば, 写像さえ分かっていたら理解できる内容のはずです.)

逆像と像


U を集合,  A,\, B をその部分集合とします. このとき, 写像 f:A\to B が与えられたなら, その逆像と像が定義できます. 逆像とは
 
\quad f^{-1} (B) = \{ a \in A \, | \, f(a) \in B\}
で定まる  A の部分集合であり, 像は
 
\quad f(A) = \{ b \in B \, | \, ^{\exists} a \in A \text{ s.t. } f(a) = b\}
で定まる  B の部分集合でした.


不思議なことに, 像よりも逆像の方が自然な概念です. このことは, 例えば, 位相空間連続写像を, 像ではなくて逆像を使っていることから分かります. 他にも, 逆像では,

\begin{align*}
\quad f^{-1} (Q_1 \cup Q_2 ) &= f^{-1} (Q_1) \cup f^{-1} (Q_2) \\
f^{-1} (Q_1 \cap Q_2) &= f^{-1} (Q_1) \cap f^{-1} (Q_2)
\end{align*}
が成り立つ一方で, 像に関しては
 
\quad f(P_1 \cup P_2) = f(P_1) \cup f(P_2)
は成り立つものの

\quad f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)
では一般に等号が成り立ちません. これも, 逆像の方が像よりも自然であることの証拠です.


このことを説明するために, まずは, 「引き戻し(pull-back)」と「押し出し(push-forward)」という概念を説明します.
これが, 逆像が自然であることの一つの根拠を与えていると思っています.

引き戻しと押し出し


引き戻しと押し出しについて説明します. 写像 f:A \to B があった時に, これを用いて,  Bから定まる集合から  A から定まる集合への写像を定めるのが引き戻しです. 逆に,  Aから定まる集合から  B から定まる集合への写像を定めるのが押し出しです. これでは, ナンノコッチャ分からないので, 具体例を用いて説明します.

例1 双対ベクトル空間


 V ,\, W \mathbb{R} 上のベクトル空間とします.  V から \mathbb{R} への線形写像のなすベクトル空間を  V の双対ベクトル空間といい  V^* と書きます. 同様に  W の双対ベクトル空間  W^* も定義できます.


さて, 線形写像  f: V \to W があったとします. このとき, 双対ベクトル空間の元  w \in W^* は線形写像  w : W \to R ですので, fとの合成写像を考えると, 新たな線形写像  w \circ f: V \to R を得ることができます. つまり,  f を用いて  W^* から  V^* への写像  f^* (w) = w \circ f が定義できます.  f \circ w などの他の合成はうまくいかず,  V^* から  W^* への写像は得られないことに注意しましょう.

例2 接空間


 M ,\, N \mathbb{R}^n の部分多様体とします. 多様体の各点では, 接空間と呼ばれるベクトル空間がくっついています. これを簡単に説明します.  x \in M を通る曲線, すなわち
 
\quad c: \mathbb{R} \to M, \quad c(0) = x
となる  c の集合を  C_x M と書くことにします. この曲線の  x における方向のみを見たいので,  c_1 ,\, c_2 \in C_x M に対して
 
\quad c_1 \sim c_2\quad : \Leftrightarrow \quad c_1^{\prime} (0) = c_2^{\prime} (0)
によって同値を定めて, これによって  x における接空間  T_x M を定義します.  T_x M の元  [ c ]  x における接ベクトルといいます. 各点での接空間を合わせて,  Mの接空間を
 
\quad TM = \bigcup_{x \in M*} T_x M
と定義します. 同様に  N に対しても,  T_y N TN が定まります.


 f: M \to N多様体写像とします.  x での接ベクトルを  [ c ] \in T_x M は, 同値類うんぬんのくだりを忘れると, 単なる写像  c : \mathbb{R} \to M です. そこで, f との合成をとることで, 写像  f \circ c : \mathbb{R} \to N が定まります.  c(0) = x ,\, (f \circ c) (0) = f (x) に注意すると,  f \circ c f(x)における曲線なので,  f(x) \in N における接ベクトル  [ f \circ c ] \in T_{f(x)} N が定まります. そこで,  f_* (c) = f \circ c と書くと,  f で定まる写像  f_* :TM \to TN が得られたことになります. この  f^* を接空間の押し出しと言います.  c \circ f などの合成はうまくいかず,  TN から  TM への写像は得られないことに注意しましょう. 双対ベクトル空間のときと比べ, 合成をとる順番が逆になっていることに注意しましょう.


これらの例で分かったことをまとめておきましょう. 写像  f: A \to B があったとします. さらに,  A,\, B を始域か終域にもつ写像の集合(  S_A ,\, S_B と書くことにしましょう) があったとします. 双対ベクトル空間は, ベクトル空間を始域にもつ写像の集まりでした. 接空間は多様体を終域にもつ写像の集まりでした. すると,  f との合成を考えることで,  S_B \to S_A (引き戻し) あるいは  S_A \to S_B (押し出し) が得られます. ここで, どちらの写像が得られるかは, うまく f と合成できるかで決まる, つまり, 写像の集まり  S_A ,\, S_B の元が  A ,\, B を始域か終域のどちらにもつかで決まります. このように, 引き戻しか押し出しが定義できるのですが, どちらになるかは自然に決まっているのです.

部分集合の写像による解釈


元の問題に戻って, 写像の逆像について考えます. 像にしろ逆像にしろ, 部分集合から部分集合への写像になっています. 前節の結果を用いるためには, 部分集合を写像として定義する必要があります. (写像の合成をするわけですから.)  U の部分集合  A とは何だったのかというと,  U の各元が  A の中に入っているかどうかを決めるルールと考えることができます. つまり, 入っているを  1, 入っていないを  0 と表すことにし, 集合  \mathbb{2} = \{ 0 ,\, 1\} を用いると,  U の部分集合と,  U から  \mathbb{2} への写像が一対一に対応します.  X から  Y への写像の集合を  Y^X と書くので,  U から  \mathbb{2} への写像の集合を  \mathbb{2}^U と書きます. よって,  U の部分集合のなす集合は  \mathbb{2}^U と書けるわけです.


以上で準備はできました. 写像  f : A \to B があるとき,  A ,\, B の部分集合のなす集合  \mathbb{2}^A ,\, \mathbb{2}^B を考えます.  m \in \mathbb{2}^B写像  m: B \to \mathbb{2} なので,  f との合成を考えると, 新たな写像  m \circ f: A \to \mathbb{2} が得られます(これは引き戻し). つまり,  B の部分集合から  A の部分集合への写像が前節での方法で得られたわけです. 特に, ( B の部分集合としての)  B を表す \mathbb{2}^B の元を  m_B と書くと,  m_B \circ f: A \to \mathbb{2} こそが  A の部分集合である逆像  f^{-1} (B) に対応することが簡単に分かります. これだけは絶対に自分でチェックしてください.

まとめ

写像があるときに, それから引き戻しや押し出しが定義できます. これらは最も自然な写像の合成で定まります. 特に, 集合の逆像は部分集合の引き戻しであることを明らかにしました. 数学ではここで説明したもの以外にも, たくさんの引き戻しや押し出しがあります. しかし, 合成するだけなので, 今回の考えが理解できれば, それほど難しくないと思います.

言い忘れましたが,  f から定まる引き戻しは  f^* と書き, 押し出しは  f_* と書きます. 意外といろんなところで使われているので,  * を見つけた時は注意してみてください.