記号の世界ゟ

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微分係数と導関数の違い

高校生で微分係数と導関数の違いが分からない人が多いと思います．
今回は微分係数と導関数の違いについて解説したいと思います．
ただし，それほど厳密な議論はしないので，ご了承ください．

定義

まずは定義をおさらいしましょう．

定義（微分係数）

関数 f(x)の x = aにおける微分係数とは
\displaystyle \quad f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
のことである．

定義（導関数）

関数 f(x)の導関数とは
\displaystyle \quad f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
のことである．

ほとんど違いがないですね．
結論を言うと，微分係数は接線の傾きでありこれを求めたいのですが，この微分係数を求める関数が導関数です．どうして導関数を考える必要があるのかを理解するために，まずは微分係数を計算していきます．

微分係数の計算


まずは微分係数を実際に計算してみましょう．今回は f(x) = x^2を考えましょう．

まずは x=0での微分係数を計算してみましょう．
\displaystyle \begin{align} \quad \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{(0+h)^2-0^2}{h} \\ & =\lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} h \\ & = 0 \end{align}
となるので，微分係数は f'(0) = 0となります．

次に x = 1 での微分係数を計算してみましょう．
\displaystyle \begin{align} \quad \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2- 1^2}{h} \\ & =\lim_{h \to 0} \frac{2 h + h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (2+h) \\ & = 2 \end{align}
となるので，微分係数は f'(1) = 2となります．

最後に x = 2 での微分係数を計算してみましょう．
\displaystyle \begin{align} \quad \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2- 2^2}{h} \\ & =\lim_{h \to 0} \frac{4 h + h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (4+h) \\ & = 4 \end{align}
となるので，微分係数は f'(2) = 4となります．

微分係数から導関数へ

毎回，微分係数を計算するのは大変です．しかし，上の計算のほとんどが同じ計算なので，工夫できないかと考えてみます．
微分係数を求めるときには二つのステップがあります．
(１) どこで微分するか x = aを決める．
(２) 極限 \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}を計算する．
ここで， x = aを変えるたびに毎回極限を取るのが面倒だったので，先に極限をとってしまってから，あとで x = aを決めることにしましょう．まず xのまま微分をとると
\displaystyle \begin{align} \quad \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ & =\lim_{h \to 0} \frac{2 x h+ h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} (2x+h) \\ & = 2x \end{align}
となります．これが導関数 f'(x) = 2xです．これに， x = 0, 1, 2をそれぞれ代入すると，
\quad f'(0) = 0, \quad f'(1) = 2, \quad f'(2) = 4
となり，上で求めた微分係数を一気に求めることができました．このように，導関数さえ求めてしまえば簡単に微分係数を求めることができます．

まとめ


x = a での微分係数は， x = aにおける接線の傾きです．つまり微分係数は実数です．一方，導関数は x = aを決めれば，そこでの微分係数を返す関数です．

導関数は公式として覚えておけばいいので，微分係数を計算するには導関数に求めたい場所 x=aを代入するだけで済みます．つまり，実際に極限の計算をするのは導関数を求めるときだけなのです．実際の計算で極限を計算する必要がないのはこのためです．

図でまとめると以下のようになるでしょう．ポイントは， x = aの代入と極限をとる操作の順番を変えることです．
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