記号の世界ゟ

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収束空間について

位相空間をフィルターを使って論じたブログに反響がありました.特に,位相空間を一般化した前位相空間について知りたいという声がありました.位相空間が一般化できるとは思いもしなかった人がかなりいるのではないかと思います.

tetobourbaki.hatenablog.com

この記事では,フィルターの収束が定義されている収束空間まで位相空間を一般化します.いきなり一般的な定義を紹介してもしっくりこないと思うので,

 \qquad 位相空間→前位相空間→ショケ空間→収束空間

の順に少しずつ一般化していきます.収束空間を使うと説明がしやすいので,具体例は収束空間を導入した後に述べます.単なる一般化ではなく,収束空間の概念をベースにして位相的な性質を議論すると分かりやすいと感じていただければ嬉しいです.

位相空間

まず,位相空間とフィルターについて,この記事の前提知識を復習しておく.(前のブログを読んだ方やフィルターで位相空間を論じることに詳しい方は次節から読め.)

定義1(位相空間

集合  X位相空間であるとは,各点  x \in X に対して、X の部分集合からなる空でない集合族  \mathbf{V} (x)が存在して以下が成り立つことをいう:

(i) すべての  V \in \mathbf{V} (x) に対して, x \in V;

(ii)  V \in \mathbf{V} (x) かつ  V \subset W ならば  W \in \mathbf{V} (x);

(iii)  V, W \in \mathbf{V} (x) ならば  V \cap W \in \mathbf{V} (x);

(iv) すべての  V \in \mathbf{V} (x) に対して、ある  W \in \mathbf{V} (x) が存在して、すべての  y \in W に対して  V \in \mathbf{V} (y)

 \mathbf{V} (x) x近傍系という.

定義2(フィルター)

集合  X に対して, Xの部分集合からなる空でない集合族 \mathcal{F}フィルターであるとは,以下が成り立つことをいう:

(i)  \emptyset \notin \mathcal{F}

(ii)  V \in \mathcal{F} かつ  V \subset W ならば  W \in \mathcal{F};

(iii)  V, W \in \mathcal{F} ならば  V \cap W \in \mathcal{F}

二つのフィルター  \mathcal{F}, \mathcal{G} に対して, \mathcal{F} \subset \mathcal{G} が成り立つとき, \mathcal{F}\mathcal{G} よりも粗い,または, \mathcal{G} \mathcal{F} よりも細かいなどという.

フィルター  \mathcal{F}極大フィルターであるとは,フィルター  \mathcal{G} に対して, \mathcal{F} \subset \mathcal{G} ならば  \mathcal{F} = \mathcal{G} が成り立つことを言う.

定義3(フィルターの収束)

位相空間 X におけるフィルター  \mathcal{F} が点  x \in X収束するとは, xの近傍系  \mathbf{V} (x) よりも  \mathcal{F} が細かいこと,つまり, \mathbf{V} (x) \subset \mathcal{F} が成り立つことをいう.
 \mathcal{F} x\in X に収束するとき,x \mathcal{F}極限点という.

定義4(フィルター基)

集合  X に対して, Xの部分集合からなる空でない集合族 \mathcal{B}フィルター基であるとは,以下が成り立つことをいう:

(i)  \emptyset \notin \mathcal{B}

(ii)  V, W \in \mathcal{B} ならば,ある  U \in \mathcal{B}が存在して  U \subset V \cap W

フィルター \langle \mathcal{B} \rangle := \{ V \subset X \mid ある  W \in \mathcal{B} が存在して  W \subset V\}  \mathcal{B} で生成されるフィルターと呼ぶ.

 \mathcal{B} で生成されるフィルター  \langle \mathcal{B} \rangle x\in X に収束するとき,フィルター基  \mathcal{B}  x収束すると言う.

定義5(連続関数)

位相空間  X, Y と関数  f \colon X \to Y に対して, f x \in X連続であるとは, x に収束する  X における全てのフィルター  \mathcal{F} に対して,フィルター基  f(\mathcal{F}) f(x) に収束することである.

定義6(コンパクト)

位相空間  Xコンパクト であるとは,任意の極大フィルターが極限点を持つことである.

定義7(ハウスドルフ)

位相空間  Xハウスドルフであるとは, X における任意のフィルターが高々1つしか極限点を持たないことをいう.
(つまり,フィルターが2つ以上の極限点を持たない空間がハウスドルフ空間である.)

以降,位相空間を一般化していくのであるが,上記の定義ではフィルターの収束のみを使っている.よって,フィルターの収束さえ定まっていれば,例えば連続写像やコンパクト性が同様に定義できる.以降,フィルターの収束を使って定義できる概念はフィルターの収束さえ定まれば同様に定義できるが,この記事ではフィルターの収束が定まっている空間のみを扱うので,一般化した空間でも同様に定義されていくものとして理解せよ.

位相空間

位相空間を一般化する.特に,フィルターの収束さえ定まればいいので,近傍系の公理(iv)は必要ない.公理(iv)を要請しない空間を前位相空間と呼ぶ.

定義8(前位相空間

集合  X位相空間(pretopological space)であるとは,各点  x \in X に対して、X の部分集合からなる空でない集合族  \mathbf{V} (x)が存在して以下が成り立つことをいう:

(i) すべての  V \in \mathbf{V} (x) に対して, x \in V;

(ii)  V \in \mathbf{V} (x) かつ  V \subset W ならば  W \in \mathbf{V} (x);

(iii)  V, W \in \mathbf{V} (x) ならば  V \cap W \in \mathbf{V} (x);

位相空間  X におけるフィルター  \mathcal{F} x収束するとは, \mathbf{V} (x) \subset \mathcal{F} が成り立つことをいう.
 \mathbf{V}フィルター場という.

位相空間でも閉包や閉集合を考えたいが,それらの性質は位相空間と違ってくる.

定義9(擬閉包作用素

集合  X に対して,部分集合から部分集合への関数  \mathrm{Cl} \colon 2^X \to 2^X擬閉包作用素
 \displaystyle
\quad \mathrm{Cl} (A) := \{ x\in X \mid あるフィルター  \mathcal{F} が存在して, A \in \mathcal{F} かつ  \mathcal{F}x に収束する  \}
と定める.

命題10

位相空間  X に対して,以下が成り立つ:

(i)  \mathrm{Cl} (\emptyset ) = \emptyset;

(ii) 任意の部分集合 A \subset X に対して,A \subset \mathrm{Cl} (A);

(iii) 任意の部分集合 A, B \subset X に対して,\mathrm{Cl}(A \cup B) = \mathrm{Cl} (A) \cup \mathrm{Cl} (B);

(注意.この命題は前位相空間を一般化しても成り立つ.)

ここで,位相空間とは違い  \mathrm{Cl} (\mathrm{Cl} (A) ) = \mathrm{Cl} (A) が成り立つとは限らない.しかし,閉集合はなぜかうまく定義できる.

定義11(開集合)

位相空間  X の部分集合  A閉集合であるとは, \mathrm{Cl} (A) =A が成り立つことである.

命題12

位相空間  X に対して,閉集合のなす集合を  \mathfrak{U} と表す.このとき,以下が成り立つ:

(i)  \emptyset \in \mathfrak{U} かつ  X \in \mathfrak{U};

(ii)  A, B \in \mathfrak{U} ならば  A \cup B \in \mathfrak{U};

(iii)  A_{\lambda} \in \mathfrak{U} ならば  \bigcap_{\lambda} A_{\lambda} \in \mathfrak{U}

この事実を私は以下のように捉えている.前位相空間でも閉集合は定義できる.位相空間と同じように考えるには, \mathrm{Cl} (A)閉集合であってほしい.しかし,上で述べたように  \mathrm{Cl} (\mathrm{Cl} (A) ) = \mathrm {Cl} (A) とは限らず,つまり, \mathrm{Cl} (A) 閉集合とは限らない.つまり,位相空間位相空間よりも閉集合が少ない空間である

(擬)開核作用素や開集合は補集合をとることで,(擬)閉包作用素閉集合から定義できる.ここは位相空間とまったく同じである.だから,前位相空間は開集合が少ない空間であると考えても良い.

このような観点に立つと,前位相空間の以下の事実も納得がいく.

命題13

位相空間  X, Y において,写像  f \colon X \to Y が連続ならば,開集合  A \subset Y の引き戻し  f^{-1} (A) \subset X は開集合である.

逆が成り立つとは限らない.

Proof. 閉集合  B \subset Y の引き戻し  f^{-1} (B) \subset X が閉であることを示せば良い.つまり, \mathrm{Cl} ( f^{-1} ( B) ) = f^{-1} (B) を示せばよい. \mathrm{Cl} ( f^{-1} ( B) ) \supset f^{-1} (B) は擬閉包の性質から分かっているので, \mathrm{Cl} ( f^{-1} ( B) ) \subset f^{-1} (B) を示す.  x \in \mathrm{Cl} (f^{-1} (B) ) とすると, X におけるフィルター  \mathcal{F}  f^{-1} (B) \in \mathcal{F} かつ  \mathcal{F} x に収束するものが存在する. f が連続なので, < f(\mathrm{F} ) >  f(x) に収束する.また,  f (f^{-1} (B)) \in f(\mathcal{F} ) かつ  f (f^{-1} (B) ) \subset B より   B \in \langle f (\mathcal{F} ) \rangle である.以上より, f(x) \in \mathrm{Cl} (B) であるが  B閉集合だったので  f(x) \in B である.よって  x \in f^{-1} (B) となり証明が終わる.

逆が成り立たないことは最後に例でみる.  \square

つまり,位相空間では開集合の引き戻しが開集合であることで連続性を定義するが,前位相空間では開集合が少ないので開集合を見ただけでは全ての点で連続かどうかが分からないのである.逆に言えば,開集合で連続性が定義できることこそ位相空間のよさだとも言える.前のブログでコンパクトからハウスドルフへの連続全単射同相写像であることを見たが,その証明で開集合による連続性の特徴付けを用いているため,一般の収束空間ではこの定理は成り立たない.

さて,前位相空間はフィルター場という基準を与えることでフィルターの収束を定めていた.単にフィルターの収束を与えるだけで空間を定義し一般化したいので,収束の性質をまとめてみる.

命題14

位相空間において,フィルター  \mathcal{F}  x に収束することと,  \mathcal{F} より細かい全ての極大フィルターが  x に収束することが同値.

Proof.任意のフィルターは極大イフィルターの共通部分として書けることが知られている.つまり
 \displaystyle
\qquad \mathcal{F} = \bigcap \{ \mathcal{G} \mid \mathcal{G} は極大フィルターで  \mathcal {F} \subset \mathcal{G} \}
が成り立つ.これと, \mathbf{V} (x) \subset \mathcal {F}  \mathcal{F}  x に収束することであったことからすぐにわかる. \square

この命題により,前位相空間において,フィルターの収束は極大フィルターの収束で決まってしまうことが分かる.

次に,極大フィルターの中でも唯一具体的に書ける主極大フィルターを導入する.

定義15(主極大フィルター)

集合  X と元  x \in X に対して,フィルター
 \displaystyle
\qquad \mathcal{F} := \{ A \subset X \mid x \in A \}
は極大フィルターである.これは  \langle \{x \} \rangle でもある.この極大フィルターを x の主極大フィルター と呼び, \langle x \rangle で表す.

位相空間の定義において,フィルター場の公理 (i) は  x の主極大フィルター  \langle x \rangle x に収束することを表している.

以上を踏まえれば,前位相空間を一般化できる.

ショケ空間

定義16(ショケ空間)

集合  Xショケ空間(Choquet space)であるとは,各点  x \in X に対して、極大フィルターの集合  \mu (x) が定まっており以下が成り立つことをいう:

(i) 任意の  x \in X に対して, \langle x \rangle \in \mu (x) が成り立つ.

極大フィルター  \mathcal{F} \mathcal{F} \in \mu (x) を満たすとき,極大フィルター  \mathcal{F} x収束するという.

ショケ空間においてフィルター  \mathcal{F} x \in X収束するとは, \mathcal{F} より細かい全ての極大フィルターが  x に収束することとする.

(注意.ショケ空間は擬位相空間(psudotopological space)と呼ばれることも多い.)

つまり,ショケ空間とは極大フィルターの収束を定めたものである.前節で述べたように,極大フィルターの収束さえ定めれば全てのフィルターの収束を定めることができる.

ショケ空間でも位相空間における近傍系や前位相空間におけるフィルター場のようなものを定めよう.

定義17(近傍フィルター)

ショケ空間  X とその元  x \in X において
 \displaystyle
\qquad \mathbf{V} (x) := \{ A \subset X \mid x に収束する全てのフィルター  \mathcal{F} A を含む  \}
と定める. \mathbf{V} (x)x における近傍フィルターと呼ぶ.

位相空間ではフィルター場により収束が定まったが,ショケ空間ではフィルターの収束が近傍フィルターで定まらない.

命題18

ショケ空間において,フィルター  \mathbf{F} x に収束するなら, \mathbf{V} (x) \subset \mathbf{F} が成り立つ.

逆が成り立つとは限らない.

証明は近傍フィルターの定義から明らか.

ショケ空間では  \mathbf{V} (x) より細かいフィルターが  x に収束するとは限らない.特に,近傍フィルター  \mathbf{V} (x) 自体が  x に収束するとは限らない.

さて,ショケ空間は極大フィルター収束により,全てのフィルターの収束を定めた.そうではなく,フィルターの収束を一気に定義したい.そのために,ショケ空間のフィルターの収束の性質を調べ,それによりフィルターの収束を公理化しよう.

命題19

ショケ空間  X において以下が成り立つ:

(a) フィルター  \mathcal{F} x に収束し, \mathcal{F} \subset \mathcal{G} が成り立つなら  \mathcal{G} x に収束する;

(b) フィルター  \mathcal{F}, \mathcal{G} x \in X に収束するなら,フィルター  \mathcal{F} \cap \mathcal{G} x に収束する.

Proof.(a)は明らか. \mathcal{F} \cap \mathcal{G} より細かい極大フィルターは, \mathcal{F}, \mathcal{G} よりも細かいので,(b) が分かる. \square

命題 (a) はこれまでも使っていたように,収束するものより細かいフィルターはやはり収束する.命題 (b) は収束する二つのフィルターより粗いものの中でもっとも細かいものが収束することを意味する。

収束空間

定義20(収束空間)

集合  X収束空間であるとは,各点  x \in X に対して、フィルターの集合  \lambda (x) が定まっており以下が成り立つことをいう:

(i) 任意の  x \in X に対して, \langle x \rangle \in \lambda (x) が成り立つ.

(ii) フィルター  \mathcal{F} \in \lambda (x)  \mathcal{F} \subset \mathcal{G} が成り立つなら  \mathcal{G} \in \lambda (x) が成り立つ;

(iii) フィルター  \mathcal{F}, \mathcal{G} \mathcal{F}, \mathcal{G} \in \lambda (x) ならば,フィルター  \mathcal{F} \cap \mathcal{G} \in \lambda (x) が成り立つ.

(注意.論文によってはこの空間を極限空間(limit space)と呼び,(iii)の条件をもう少し一般化したものを収束空間と呼んでいる.)

収束空間はショケ空間とは違い,極大フィルターの収束で全てのフィルターの収束が決まっているわけではない.コンパクト性は極大フィルターで定義されているので,ショケ空間でなければ成り立たない結果がいくつかある.

収束空間のまとめ

定義21

 X を収束空間とする.

(a)  X がショケ空間から定まる収束空間のとき, Xショケ的であるという.
(b)  X が前位相空間から定まる収束空間のとき, X前位相的であるという.
(c)  X位相空間から定まる収束空間のとき, X位相的であるという.

さらに,以下のことが簡単に分かる.

命題22

 X を収束空間とする.

(a)  X がショケ的であることと,フィルター  \mathcal{F} より細かい任意の極大フィルターが  x \in X に収束するなら  \mathcal{F} x に収束することが同値.

(b)  X が前位相的であることと,近傍フィルター  \mathbf{V} (x) x に収束することが同値.

(c)  X が位相的であることと,前位相的かつ任意の  A \subset X に対して  \mathrm{Cl} ( \mathrm{Cl} (A) ) = \mathrm{Cl} (A) が成り立つことが同値.

最後に,例を挙げる.自然な例を挙げるというよりは,本当に一般化した空間に入る例があることを確認することが目的である.

前位相的だが位相的でない例

実数体  \mathbb{R} に普通の位相を入れた収束構造を  \lambda とする.一方,収束構造  \nu
 x \neq 0 に対しては, \nu(x) = \lambda (x) とし,
 \displaystyle
\qquad \mathcal{F} \in \nu (0) : \Leftrightarrow "\mathcal{F} \in \lambda (0) かつ,全ての A \in \mathcal{F} に対して A \cap \mathbb{Q} \neq \emptyset"

と定める.つまり,0以外への収束は通常の同じで , x=0 に収束するには有理数体と交わり続けることも条件に加えたものが収束空間  (\mathbb{R}, \nu ) である.簡単のため,通常の収束構造を定めたものを単に  \mathbb{R} とし, (\mathbb{R}, \nu)\tilde{\mathbb{R} } と表す.

 \tilde{\mathbb{R} } は前位相空間である: これを見るには,近傍フィルターとの包含関係によりフィルターの収束が定めることを見れば良い. x \neq 0 は見る必要がないので, \nu (0) のみを見れば良い. \mathcal{F} \in \nu (0) \mathbf{V} (0) \subset \mathcal{F} が同値であることを見れば良いが, \mathbf{V} (0) \in \nu (0) を見れば十分である.  A \in \mathbf{V} (0) 0 に収束する全てのフィルターに含まれているので, A \cap \mathbb{Q} \neq \emptyset となる.また, \nu (0) \subset \lambda(0) より, \mathbf{V} (0) は普通の位相で収束する.よって, \mathbf{V} (0) \in \nu (0) である.以上により, \tilde{\mathbb{R} } は前位相空間である.

命題23
 \tilde{ \mathbb{R} } において,
 \displaystyle
\qquad \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}, \quad \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \{0 \} ) = \mathbb{R}
である.特に, \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} )閉集合でない.

Proof.収束構造  \nu により, \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} を元にもつフィルターは  0 に収束しないので, 0 \notin  \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ).一方, x \neq 0 が閉包に入るかどうかは通常と同じなので, \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} である.

主極大フィルター  \langle 0 \rangle を,この空間でも  0 に収束するように変形したフィルター

\qquad  \mathcal{F} := ( \{A \setminus \{0 \} \mid 0 \in A\} \cup \{A \} ) \setminus \emptyset
 0 に収束し, \mathrm{R} \setminus \{0 \} \in \mathcal{F} なので, 0 \in \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \{0 \} ) である.よって, \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \{0 \} ) = \mathbb{R} \square

ショケ空間だが前位相空間でない例

無限個の元を持つ集合を  X とする. X の極大フィルターの収束を,主極大フィルターが(任意の)  x \in X に収束し,主極大フィルター以外の極大フィルターは収束しないとして収束を定めたショケ空間を考える.まず, \mathbf{V} (p) = \{X \} であることが分かる.実際,  A \in \mathbf{V} (p) A \neq X となるものがあったとし  q \notin A をとると,主極大フィルター  \langle q \rangle p に収束するが,近傍フィルターの定義より  A \in \langle q \rangle となる.これは  q \notin A に矛盾.つまり, \mathbf{V} (p) = \{X \} である.このとき, \mathcal{F} x に収束することと, \mathcal{F}  \mathbf{V} (p) より細かいことが同値と仮定して矛盾を導く.ここで,フレシェフィルターと呼ばれるフィルター
 \displaystyle
\qquad \mathcal{N} := \{ A \subset X \mid X \setminus A が有限集合  \}
を考える. \mathcal{N} より細かい極大フィルターを  \mathcal{G} とする. X が無限集合であることから  \mathcal{G} は主極大フィルターではないことが分かる.一方, \mathcal{V} (p) \subset \mathcal{N} \subset \mathcal{G} となり.仮定から  \mathcal{G} は収束する.主極大フィルターではないフィルターが収束することになり矛盾.よって,仮定が間違っていたことになり,前位相的ではないことが分かる.

この収束空間の閉集合を調べよう.一点集合  \{ p \} の閉包を考える. q \in X を取ったとき,主極大フィルター  \langle p \rangle \{p \} を元に持ち  q に収束する.つまり任意の元が閉包に含まれるので, \mathrm{Cl} (\{p \}) = X となる.よって閉集合 \emptyset, X のみである.

さて,上と同じ  X に全ての極大フィルターが全ての点に収束するとして収束を定めたショケ空間を  \tilde{X} と表すことにする.すると,上と同様に  \mathbf{V} (p) = \{ \tilde{X} \} であり,閉集合 \emptyset, \tilde{X} のみとなる. X とは違い任意のフィルターが任意の点に収束するとしているので,前位相的であり,もっと言うと密着位相が入った位相空間である.

さて, \mathrm{id}\colon \tilde{X} \to X を考える. \tilde{X}, X閉集合は同じなので,開集合の引き戻しは開集合である.しかし, \tilde{X} のフィレシェフィルター  \mathrm{N} は収束するが,その像  \mathrm{id} (\mathrm{N} ) X で収束しない.よって, \mathrm{id} は連続でない.これは,開集合の引き戻しが開集合でも連続とは限らないことを意味する.これが命題13の例を与えている.

収束空間だがショケ空間でない例
 I := [0, 1] を通常の位相により定まる収束空間とし,  \mathcal{F} \in \nu (x)
普通の位相で  0 に収束する有限個の極大フィルター  \mathcal{G}_1, \dots, \mathcal{G}_n が存在して, \mathcal{F} \supset \mathcal{G}_1 \cap \dots \cap \mathcal{G}_n と定める.

収束空間であることは分かる.極大フィルターの収束性は通常と変わらない.普通の位相での近傍フィルターを  \mathbf{U} (x) をとる. \mathbf{U} (x) より細かい極大フィルターは普通の位相で  x に収束するので  \nu でも  x に収束する.一方, \mathbf{U} (x) より細かい極大フィルターは無限個あるので,  \nu \mathbf{U} (x) x に収束しない.よって,ショケ空間ではない.