記号の世界ゟ

このブログでは, 数学書などの書評を書きます。また、受験などの勉強法をまとめます。

なぜ素イデアルを点と見るのか

数学

代数幾何について最近ちょっとしっくりきたのでまとめておきます．タイトルでは素イデアルを挙げていますが，そこに至るまでを詳しく書きます．いろんな説明の仕方があると思いますが，幅広く議論する気はありません．アファインの場合だけを考えますし層の議論が出てこないような話を書きます．普通スキームと呼ばれるものを多様体と呼んでしまっているのでご注意ください．

この記事では， k は体を表します．また，環とは 1 を持つ可換環とします．記法として，列 (a_1, \dots, a_n) を \bar{a} と表します．よって，多変数多項式環は k[\bar{X}] と表します． k 代数を考えるとき， k が代数的閉体の場合を考えることが多いですが，そうでない場合も出てくるので， k の仮定はできるだけその都度書きます．調べればすぐにわかる用語は説明していないことがあります．
（もう少し証明を書き加える予定）

参考文献．問題意識は以下の微分ガロア理論の本の付録に基づいている．
van der Put, Singer, "Galois Theory of Linear Differential Equations"
また，
西宮正宣，『代数学2 -発展編-』
も参考にしている．
代数や環については以下を参考にしている．
堀田良之，『可換環と体』
Milne, "Commutative Algebra"

全体像

この記事では以下の表が成り立つような描像を目指していく．

座標環 点
k[\bar{X}] {k}^N の元
有限生成 k 代数 極大イデアル
k 代数 素イデアル

結論を言えば、上の表の上から下に進むにあたって、一般に環を考えるとき，普通は有限生成ではないので素イデアルを点と考える必要があるということ．

多変数多項式の場合


k [X_1, \dots, X_N] = k [ \bar{X} ] の場合を復習する．代数幾何学とは多項式の零点を考える学問である． k [ \bar{X} ] のイデアル I に対して，その零点の集まりを \mathcal{V} (I) と表す:
\qquad \displaystyle \mathcal{V} ( I ) := \{ \bar{a} \in k^N \mid \forall f \in I, \, f(\bar{a} ) = 0\}
V が代数的集合であるとは，あるイデアル I を用いて V = \mathcal{V} (I) と書けるものをいう．つまり，代数的集合が代数幾何学の対象である．代数的集合の集まりは k^N の位相を定めることが知られている．定まる位相はZariski位相と呼ばれる．つまり以下が成り立つ．

命題（ k^N のZariski位相）

(i) \mathcal{V} ( (1) ) = \emptyset, \quad \mathcal{V} ( (0) ) = k^N ;

(ii) \mathcal{V} (I) \cup \mathcal{V} (J) = \mathcal{V} (I \cdot J) ;

(iii) \bigcap_{\alpha} \mathcal{V} (I_\alpha ) = \mathcal{V} ( \sum_{\alpha} I_{\alpha} ) ．


ある幾何学的対象があるとき，その上の関数を考えるというのは重要である．例えば，微積分学は \mathcal{R}^N 上の滑らかな関数や解析関数を考える．代数幾何は代数的な考察を行うので， k^N 上では単に多項式環 k[\bar{X}] を考えればよい．では，代数的集合上の関数はどのように定めればいいのか？ V \subset k^N を代数的集合とは限らない部分集合とする．多項式 f \in k[\bar{X} はもちろん V の関数を定めるが，定義域 V が小さい時には V の外の f の値は関係ないので k[ \bar{X} ] は大きすぎるように思える．以下のように多項式の集合 \mathcal{I} (V) を定める:
\qquad \displaystyle \mathcal{I} (V) := \{ f \in k[ \bar{X} ] \mid \forall \bar{a} \in V, \, f( \bar{a} ) = 0 \}
この \mathcal{I} (V) はイデアルとなる．すると以下の命題が成り立つ．

命題
V \subset k^N とする． f, g \in k [\bar{X} ] に対して以下が同値である．

(i) f, g は V 上の関数として同じ．つまり，全ての \bar{a} \in V で f(\bar{a} ) = g(\bar{a} );

(ii) f - g \in \mathcal{I} (V)．

つまり， V 上の関数は k [\bar{X} ] の元を \mathcal{I} (V) で同一視した k [ \bar{X} ] /\mathcal{I} (V) であるということが分かった． k [ \bar{X} ] / \mathcal{I} (V) を V の座標環という．


Zariski位相は非常に粗いことが特徴的である． V \subset k^n が既約であるとは，閉集合 U_1, U_2 を用いて V = U_1 \cup U_2 と書けるなら V = U_1 または V = U_2 が成り立つことをいう．つまり，既約とは（共通部分を持っていてもよい）二つの閉集合に分解できないことをいう．こんなことはユークリッド空間の普通の位相ではほとんど起こらず役に立つ概念ではないが，Zariski位相が粗いために便利な概念である．


以上のことをまとめると，イデアル I（多項式の集まり）から代数的集合 \mathcal{V} (I) が定まった．一方，点の集まり V からはイデアル \mathcal{I} (V) が定まる．このように，環のイデアルと点の集まりが対応している．実はこの対応により，イデアルと図形の性質が対応する．

定理

\mathcal{V} \colon \{ k [\bar{X}] \text{のイデアル} \} \to \{ k^N \text{の部分集合} \} と \mathcal{I} \colon \{ k^N \mathrm{の部分集合} \} \to \{ k [\bar{X}] \text{のイデアル} \} に対して以下が成り立つ．

(i) V \subset k^Nに対して， \mathcal{I} (V) は根基イデアルであり， V \subset \mathcal{V} (\mathcal{I} (V) )．
イデアル I \in k[\bar{X} ] に対して， \mathcal{V} (I) は代数的集合であり， I \subset \mathcal{I} ( \mathcal{V} (I) );

(ii) V が代数的集合ならば V = \mathcal{V} (\mathcal{I} (V) ) であり， I が根基イデアルならば I = \mathcal{I} ( \mathcal{V} (I) )．つまり，代数的集合と根基イデアルは \mathcal{V}, \mathcal{I} により一対一に対応する．

(iii) 代数的集合 V が既約であることと，対応する根基イデアル \mathcal{I} (V) が素イデアルであることは同値．

(iv) k が代数的閉体と仮定する．このとき，代数的集合 V が一点 V = \{ \bar{a} \} であることと，対応する根基イデアル \mathcal{I} (V) が極大イデアルであることは同値．

この定理について補足．(i)の部分集合の関係式は \mathcal{V}, \mathcal{I} がガロア接続を定めることを意味している．(iv) において特に極大イデアル m は \bar{a} \in k^N を用いて
\qquad m = (X_1 - a_1, \dots, X_N - a_N)
と書けることも分かる．この形のイデアルを m_a := (X_1 - a_1, \dots, X_N - a_N) と表すこととする． k が代数的閉体でなくても m_a の形のイデアルは極大イデアルであり，対応する代数的集合 \mathcal{V} (m_a) は一点集合である．なので (iv) の主張は k が代数的閉体ならば，極大イデアルが必ず m_a の形に書けるということである．この主張はヒルベルトの零点定理の弱形と呼ばれる．


有限生成代数と極大イデアル

代数的閉体でない場合


目標では次に有限生成代数に行きたいところではあるが，極大イデアルを点と見る理由を十分に理解するために， k が代数的閉体でない場合の多項式環 k[ \bar{X}] を考える．


前節の最後の定理の(iv)から， k が代数的閉体の場合は点と極大イデアルは同一視して良い．一方，前節の最後に述べたことは， k が代数的閉体の場合には素朴な点 \bar{a} は極大イデアル m_a に対応するが，任意の極大イデアルは点に対応するとは限らない．つまり，極大イデアルの方が多いので，素朴な点 \bar{a} にこだわらず，極大イデアル自体を"点"と見た方がいいことが示唆される．


（補足．何を言っていいるかというと，「図形と代数の対応」がうまくいくには図形の点の定義を変えるということである． k が代数的閉体の場合には実際に極大イデアルと点が対応するので，一般化して極大イデアルも点だと思おうとする，すると図形と代数が対応する， ということである．極大イデアルを点と呼ぶ「点らしさ」は「図形と代数の対応」を信じていることから来ているのであり，素朴な図形観に訴えかけるものではないと思う．だから，この分野に詳しくない人に向かって「数学者は極大イデアルを点と思う」と言ってしまうと，（詳しく説明しない限り）そこでいう"点"概念が代数幾何学者とそれ以外の人で大きくズレているためミスリーディングだと思う．*1）


極大イデアルを点と考えることの意味を考える．可換環 R の極大イデアルを \mathrm{mSpec} R と表す． k が代数的閉体でなくても， k^N \subset \mathrm{mSpec} (k [\bar{X} ]) と考えることができるのであった．一方，任意の \bar{a} \in \bar{k}^N に対して， \bar{X} \mapsto \bar{a} とする写像 \phi_{\bar{a}} \colon k [ \bar{X} ] \to \bar{k} を考えると，準同型定理より k [ \bar{X} ]/ \mathrm{ker} \phi_{\bar{a}} \simeq \bar{k} となる．よって， \mathrm{ker} \phi_{\bar{a}} は極大イデアルである．よって写像 \tau \colon k^N \to \mathrm{mSpec} (k[ \bar{X} ] ) \colon \bar{a} \mapsto \mathrm{ker} \phi_{\bar{a} } を得る．この \tau は全射である．（なぜなら， m \in \mathrm{mSpec} (k[ \bar{X} ] を \bar{k} [ \bar{X} ] でのイデアルと考えれば，ある \bar{a} \in \bar{k}^N で m \subset \mathrm{ker} \phi_{\bar{a}} が分かる．極大性より m = \mathrm{ker} \phi_{\bar{a}} となる． ）つまり， \mathrm{mSpec} (k[ \bar{X} ] ) \subset \bar{k}^N と考えても良い．つまり，以上より， k^N \subset \mathrm{mSpec} (k[ \bar{X} ] ) \subset \bar{k}^N と考えられ，極大イデアルを点と見ても少なくとも \bar{k}^N の元（と見ることはできる）ということが分かる．


これは一変数の場合でみるともっと分かりやすい． k \subset \mathrm{mSpec} (k[ X ] ) \subset \bar{k} の解釈として， k[X ]の元は k に零点を持つとは限らないが \mathrm{mSpec} (k[ X ] ) には零点を持つ．つまり，全ての多項式が零点を持つように空間を広げたものが \mathrm{mSpec} (k[ X ] ) である．ちなみに，零点を持つだけでなく体になるようにしたものが \bar{k} である．例えば，多項式 X^2 + 1 \in \mathbb{Q} [ X ] は \mathbb{Q} に零点を持たないが，極大イデアル (X^2 + 1) \in \mathrm{mSpec} ( \mathbb{Q} [ X ] ) が"零点"になる． X^2 + 1 は \bar{k} には 2 つ零点 \sqrt{-1}, -\sqrt{-1} があるので，代数的閉体における零点と極大イデアルが対応しているわけではない．（つまり， \tau^{-1} (m) には本当の零点がたくさん入っていることがある．）被約の仮定は別の場所でも重要になってくるが，被約だと思って読み進めよ．

有限生成代数の場合


問題を元に戻して，多項式環 k [\bar{X} ] ではなく一般化して有限生成 k 代数 A を考えることにする．


一般化してはいるが，それほど奇妙なものではなく，実はすでに出てきたものである．有限生成という仮定により有限個の元 f_1, \dots, f_N \in A が存在して A = k [f_1, \dots, f_N ] と書ける．多項式環からの全射 \phi \colon k [ \bar{X} ] \to A \colon X_i \to f_i を考えることにより， A \simeq k [ \bar{X} ] / \mathrm{ker} \phi となる． I = \mathrm{ker} \phi とおけば， A は多項式環をイデアルで割ったものということである．特に， A が被約の場合には I は根基イデアルとなり， A は \mathcal{V} (I) の座標環である．さらに言えば， A が被約のときには， A は代数的集合 \mathcal{V} (I) と同一視して良い．


つまり，（被約）有限生成 k 代数 A とは k[\bar{X} ] の代数的集合なのであるが， k[\bar{X} ] の極大イデアルを点と見たように， A の点も A の極大イデアルとして定義する． A の点を \mathrm{mSpec} A としたときに，その位相をどのように定めればいいか？それを考えるために多項式環の場合を思い出す．多項式環では，代数的集合
\qquad \displaystyle \mathcal{V} ( I ) := \{ \bar{a} \in k^N \mid \forall f \in I , \, f(\bar{a} ) = 0\}
の集まりで位相を定めるのであった．ここで， \bar{a} が定める極大イデアル m_{\bar{a}} = (X_1 - a_1, \dots, X_N - a_N ) を用いれば，
\displaystyle \qquad f(\bar{a}) = 0 \Leftrightarrow f \in m_{\bar{a}}
となる．よって代数的集合の定義は
\displaystyle \qquad \displaystyle \mathcal{V} ( I ) := \{ \bar{a} \in k^N \mid I \subset m_a \}
と書ける．点と極大イデアルが対応しているので，極大イデアルの空間 \mathrm{mSpec} A の代数的集合も全く同様に
\displaystyle \qquad \displaystyle \mathcal{V} ( I ) := \{ m \in \mathrm{mSpec} A \mid I \subset m \}
と定義すればよい．もちろんこれで位相が定まる． \mathrm{mSpec} A をアファイン代数多様体と呼ぶことにする．

命題（ \mathrm{mSpec} AのZariski位相）

(i) \mathcal{V} ( (1) ) = \emptyset, \quad \mathcal{V} ( (0) ) = \mathrm{mSpec} A ;

(ii) \mathcal{V} (I) \cup \mathcal{V} (J) = \mathcal{V} (I \cdot J) ;

(iii) \bigcap_{\alpha} \mathcal{V} (I_\alpha ) = \mathcal{V} ( \sum_{\alpha} I_{\alpha} ) ．

多項式環の場合と同様に考えれば，部分集合 V \subset \mathrm{mSpec} A に対してイデアルを定める写像 \mathcal{I} も考えるべきであろう:
\displaystyle \qquad \mathcal{I} (V) := \{ f \in A \mid \forall m \in V, \, f \in m \} = \bigcap_{m \in V} m


もう少し考察に進む前に，有限生成代数に対して成り立ついくつかの定理を復習する．

定理
R_1 \subset R_2 は環の拡大で R_2 が整域とする．このとき，R_2 が R_1 上整ならば， R_1 が体であることと R_2 が体であることは同値．

証明は意外と簡単にできる．

定理（Zariskiの補題）
k \subset K を体の拡大とする．
このとき，K が k 上有限生成ならば，K は k 上代数的である．

系
k \subset K を体の拡大とする． A は k 代数で K \subset A とする．
このとき， A が有限生成 k 代数ならば， K は k 上代数的である．

証明． m \in \mathrm{mSpec} A とすると， K は逆元を持たないから m \cap K = \emptyset であり k \subset K \subset A/m となる． A/m は k 上有限生成なのでZariskiの補題により A/m の元は代数的．よって，K の元も代数的． \square

定理（ヒルベルトの零点定理）
A が有限生成 k 代数のとき，
\displaystyle \qquad \sqrt{ (I) } = \bigcup_{I \subset m \in \mathrm{mSpec} (A) } m
となる．特に， A が被約ならば，
\displaystyle \qquad \bigcup_{m \in \mathrm{mSpec} (A) } m = \sqrt{ (0) } = 0
である．

ヒルベルトの零点定理の意味を考える．イデアル I に対して， \mathcal{I} (\mathcal{V} (I) ) を考えると
\displaystyle \qquad \mathcal{I} (\mathcal{V} (I) ) = \bigcap_{m \in \mathcal{V} (I) } m = \bigcap_{I \subset m \in \mathrm{mSpec} (A) } m
となるので， A が有限生成のときには，
\qquad \displaystyle \sqrt{ (I) } = \mathcal{I} (\mathcal{V} (I) )
となる．これがヒルベルトの零点定理の意味である．

準同型写像と射


幾何と代数が対応していると思えるためには，単に代数から幾何学的対象が定まるだけでなく，代数間の準同型写像から幾何学的対象の射が対応していなければならない．


k 代数 A, B の間の準同型写像 \phi \colon A \to B があったとする．このとき，有限生成代数の間の準同型写像であれば，連続写像 \phi^* \colon \mathrm{mSpec} B \to \mathrm{mSpec} A が \phi^* (m) = \phi^{-1} (m) と定義できる．これが有限生成を仮定する理由である．

命題
k 代数 A, Bと準同型写像 \phi \colon A \to B 考える．B が k 上有限生成のとき， m \in \mathrm{mSpec} B の引き戻し \phi^{-1} (m) は A の極大イデアルである．

証明．B が k 上有限生成なので， B/m は k 上有限である．よって， \pi \colon B \to B/m とおいて， \pi \circ \phi \colon A \to B/m の像は k 上有限であり体である．つまり， A/ \mathrm{ker} (\pi \circ \phi) \simeq A / \phi^{-1} (m) は体である．よって， \phi^{-1} (m) は極大イデアルである．

次に，この \phi^* が連続写像であることを見る．まず，位相的な準備をする． f \in A に対して開集合 D (f) := \mathrm{mSpec} (A) \setminus \mathcal{V} ( (f) ) = \{ m \in \mathrm{mSpec} (A) \mid f \notin m\} が定まる．有限生成 k 代数 A はネーター環なので，任意のイデアル I は有限生成である．すると開集合 Z = \mathrm{mSpec} (A) \setminus \mathcal{V} (I) は
\displaystyle \qquad Z = D(f_1) \cup \dots \cup D (f_N)
と書ける．つまり，開集合は D(f) の形の開集合の有限和で書くことができる．つまり， D(f) の集まりがZariski位相の基本開集合となっている． \phi \colon A \to B と f \in B に対して，
\displaystyle \qquad (\phi^* )^{-1} ( D(f) ) = \{ m \in \mathrm{mSpec} (B) \mid \phi^* (m) \in D(f) \} \\ \qquad \qquad \qquad \, = \{ m \in \mathrm{mSpec} (B) \mid f \notin \phi^{-1} (m) \} \\ \qquad \qquad \qquad \,= \{ m \in \mathrm{mSpec} (B) \mid \phi( f) \notin (m) \} \\ \qquad \qquad \qquad \,= D (\phi (f))
となる．つまり， \phi^* は開集合の引き戻しを開集合に写すので連続写像である． \square


よって，有限生成代数とその間の準同型写像から，アファイン代数多様体とその間の連続写像を得ることができた．逆にアファイン代数多様体やその連続写像から有限生成代数と準同型写像が得られるなら完璧であるが実はこれは難しい．それを行うには層の議論が必要になる．層の議論をやるのは大変なので，ずいぶん簡単な状況を考えることでその逆操作のギャップがどこにあるかを見る．


まず，有限生成代数をアファイン代数多様体上の関数と見る方法を考える．有限生成代数 A に対して， X = \mathrm{mSpec} A とおく． f \in A を固定すると， m \in X に対して [ f ]_m \in A/m が対応づけられる． k が代数的閉体の場合は A/m \simeq k なので， X から k への写像 \mathrm{map} (f) \colon X \to k が定義できる．のちの議論で必要になるので，細かい注意をすると， f(m) = a \in k というのは f - a \cdot 1_A \in m ということである．次に， f, g\in A が \mathrm{map} (f) = \mathrm{map} (g) とする．つまり，任意の m \in X に対して [f]_m = [g]_m とする．これは f - g \in m なので， f - g \in \bigcap_{m \in X} m ということである．A が被約とすると， \bigcap_{m \in X} m = \sqrt{ (0) } = 0 なので， f = g となる．つまり， X から k への写像の集合を O(X) と表すと \mathrm{map} \colon A \to O(X) は単射である．つまり，A の元は写像として同じなら A の元としても同じである．


以上のことをまとめると， k が代数的閉体の時には A は X から k への関数を定義し，A が被約ならその関数としての性質が A の元を特徴付ける．つまり，k が代数的閉体かつ A が被約の時に， A は O(X) の部分集合と見ることができる．逆に O(X) の元 \alpha が A であるとは，ある f \in A が存在して， \mathrm{map} (f) = \alpha となることとである．この準備の元で，アファイン多様体の間の射が代数の準同型写像を与えるための条件は以下のように与えられる．

命題
k を代数的閉体． A, B を被約な有限生成 k 代数とする．連続写像 \psi \colon \mathrm{mSpec} A \to \mathrm{mSpec} B に対して，以下が同値:

(i) ある k 準同型 \phi\colon B \to A が存在して， \psi = \phi^* が成り立っている．

(ii) 任意の g \in B に対して，関数 \mathrm{map} (g) \circ \psi \colon \mathrm{mSpec} A \to \mathrm{mSpec} B \to k は A の元である．

証明．【(i)ならば (ii) の証明】． \psi (g) \in A なので \mathrm{map} (g) \circ \psi = \mathrm{map} ( \psi (g) ) を示せばよい．任意の m \in \mathrm{mSpec} A に対して，
\displaystyle \qquad \mathrm{map} (g) \circ \psi (m) = \mathrm{map} (g) (\psi (m) ) \\ \qquad \qquad \qquad = [g ]_{\psi (m)} \\ \qquad \qquad \qquad = [g ]_{\psi^{-1} (m) } \\
ここで， [ g ]_{\psi^{-1} (m)} = a \in k とは g - a\cdot 1_B \in \psi^{-1} (m) ということであり，これは \psi (g) - a \cdot 1_A \in m を意味する．つまり， [ \psi (g) ]_m = a である．よって，
\displaystyle \qquad \mathrm{map} (g) \circ \psi (m) = [ \psi (g) ]_m = \mathrm{map} (\psi (g) ) (m)
となる．以上より， \mathrm{map} (g) \circ \psi = \mathrm{map} ( \psi (g) ) である．
【(ii)ならば(i)の証明】．仮定により任意の g \in B に対して，ある f_g \in A が存在して， \mathrm{map} (g) \circ \psi = \mathrm{map} ( f_g ) と書ける．この f_g は一意である．実際， \mathrm{map} (g) \circ \psi = \mathrm{map} ( f_g' ) となる f_g' もあったとしても， A は O(X) の元として見ることができるので， \mathrm{map} ( f_g ) = \mathrm{map} ( f_g' ) より f_g = f'_g である．そこで \psi \colon B \to A を \psi (g) = f_g と定める．
（ \psi が準同型であること）
\displaystyle \qquad \mathrm{map}( \phi (a g + a ' g') ) (m) = [a g + a' g' ]_{\psi (m)} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad= a [g ]_{\psi (m) } + a' [g' ]_{\psi (m)} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad= (a \mathrm{map} (g) + a' \mathrm{map} ( g' ) ) (m) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad= \mathrm{map} ( a \phi (g) + a' \phi (g') ) (m)
より， \displaystyle \phi (a g + a' g' ) = a \phi (g) + a' \phi (g') となる．
同様に，
\displaystyle \qquad \mathrm{map}( \phi (g g') ) (m) = \mathrm{map} (g g' ) \circ \psi (m) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad = [g g']_{\psi (m)} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad = [g]_{\psi (m)} [g']_{\psi (m)} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad = \mathrm{map} (\phi ( g) ) (m) \cdot \mathrm{map} ( \phi (g') ) (m) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad = \mathrm{map} (\phi ( g) \phi (g') ) (m)
より， \displaystyle \phi (g g') = \phi ( g) \phi (g') となる．
（ \phi = \psi^* となること）
全ての m \in \mathrm{mSpec} A に対して \psi (m) = \phi^{-1} (m) を示せばよい．
\displaystyle \qquad g \in \psi (m) \Leftrightarrow [g ]_{\phi (m) } = 0 \Leftrightarrow [\phi (g) ]_m = 0 \Leftrightarrow \phi (g) \in m \Rightarrow b \in \phi^{-1} (m)
よって， \psi (m) \subset \phi^{-1} (m)． \psi (m) は極大イデアルなので， \psi (m) = \phi^{-1} (m)． \square


まとめると，代数の議論（代数とその間の準同型写像）はアファイン多様体の議論（アファイン多様体とその間の連続写像）に写すことができるが，アファイン多様体の議論が代数の議論に写すことができるとは限らない．なので，アファイン多様体とその間の射にさらなる情報を加えたものを考えていくことが本当は必要であるが，少なくとも，代数の議論がアファイン多様体の議論に写すことができるという事実が成り立つことが全ての出発点になっている．

有限生成でない代数と素イデアル

有限生成でない場合


さて，有限生成でない代数の場合を考えよう．有限生成でない場合にはの，今の定義では，代数の議論がアファイン多様体の議論に写すことができない．つまり， \phi \colon A \to B と m \in \mathrm{mSpec} (B) に対して， \phi^{-1} (m) が A の極大イデアルになるとは限らない．実際，単射 \iota \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} を考えたとき，\mathbb{Q} の極大イデアルは (0) のみであるが，その引き戻しは \iota^{-1} ( (0) ) = (0) は \mathbb{Z} では極大ではない．


そこで，代数の議論がアファイン多様体の議論に写るように，アファイン多様体の点の定義を変更する．つまり，極大イデアルではなく素イデアルを点と考えることにする．可換環 R に対して，その素イデアルの集まりを \mathrm{Spec} R で表すことにする．すると，準同型写像 \phi \colon A \to B と素イデアル m \in \mathrm{Spec} (B) に対して， \phi^{-1} (m) が A の素イデアルになることが確認できる．

命題
A, B を k 代数とする．準同型写像 \phi \colon A \to B と素イデアル m \in \mathrm{Spec} (B)に対して， \phi^{-1} (m) が A の素イデアル．

証明． B/m は整域である．よって， \pi \colon B \to B/m とおいて， \pi \circ \phi \colon A \to B/m の像は整域である．つまり， A/ \mathrm{ker} (\pi \circ \phi) \simeq A / \phi^{-1} (m) は整域である．よって， \phi^{-1} (m) は A の素イデアルである． \square

実はすでにこの事実を使っている場所が一箇所あるのだが流れを重視してこの事実を説明していなかった．ともかく， \mathrm{Spec} A を点と考えれば，代数の議論を多様体の議論に持っていけそうだ． \mathrm{Spec} A の位相の定義は \mathrm{mSpec} A の場合と全く同じである． A のイデアルに対して，代数的集合を
\displaystyle \qquad \displaystyle \mathcal{V} ( I ) := \{ m \in \mathrm{Spec} A \mid I \subset m \}
と定義すればよい．もちろんこれで位相が定まる．ここからは \mathrm{Spec} A をアファイン代数多様体と呼ぶことにする．

命題（ \mathrm{Spec} AのZariski位相）

(i) \mathcal{V} ( (1) ) = \emptyset, \quad \mathcal{V} ( (0) ) = \mathrm{Spec} A ;

(ii) \mathcal{V} (I) \cup \mathcal{V} (J) = \mathcal{V} (I \cdot J) ;

(iii) \bigcap_{\alpha} \mathcal{V} (I_\alpha ) = \mathcal{V} ( \sum_{\alpha} I_{\alpha} ) ．

こうすれば状況は極大イデアルの場合と全く同じになる．

命題
k 代数 A, Bと準同型写像 \phi \colon A \to B 考える． \phi^* \colon \mathrm{Spec B} \to \mathrm{Spec} A は連続写像である．


このように，代数の議論をアファイン多様体の議論に持っていくためには，点は極大イデアルではなく素イデアルにする必要がある．これが，素イデアルを点と考える理由（の一つ）である．


ここで，素朴な点の代わりに極大イデアルを点と考えたときと一般化の仕方が違うことに注意しよう．例えば，多項式環 k [ \bar{X} ] では， k^N \subset \mathrm{mSpec} ( k [ \bar{X} ] ) \subset \bar{k}^N であり，特に k が代数的閉体の場合には点と極大イデアルが完全に一致したのであった．しかし，多項式環のところで述べたとおり，素イデアルに対応するのは既約な代数多様体である．つまり，素イデアルを点とみるのは，素朴な点に限らず点の集まりがなす図形をも"点"だと思うということである．特に，k が代数的閉体であっても \mathrm{Spec} A は k^N よりも真に大きいものになる．素朴な点はいつでも既約なので，その意味では素イデアルは確かに一般化になっているのであるが，極大イデアルを点と思うときとは違い，素朴な点と素イデアルは一致しないのである．

素イデアル空間の中での極大イデアル


これでこの記事の目標は達成されたのではあるが，最後に素イデアルを点と見たときの極大イデアルの意味を考えることにする．

命題
A を有限生成 k 代数とする*2． このとき，位相空間 X の開集合のなす集合を \mathcal{O} (X) と表すとき，写像
\displaystyle \qquad \tau \colon \mathcal{O} (\mathrm{Spec (A)} ) \to \mathcal{O} (\mathrm{mSpec (A)} ) \colon U \to U \cap \mathrm{mSpec} (A)
は全単射である．つまり， \mathrm{Spec (A)} の位相は \mathrm{mSpec (A)} の位相で復元できる．

証明． \square

証明はしないが，アファイン多様体とその間の射をちゃんと定義した k 上のアファインスキーム を使えば， k 代数の圏 ( k-alg) と k 上のスキームの圏 (Aff.Sch / k ) は双対圏である．

定理
( k-alg) と (Aff.Sch / k ) は双対圏である．特に，射の同型
\qquad \mathrm{Hom}_{k- \mathrm{alg} } (A, B) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Aff.Sch/} k } (\mathrm{Spec} B, \mathrm{Spec} A)
が存在する．

命題
k を代数的閉体とし， A を有限生成 k 代数とする．写像
\qquad \displaystyle \sigma \colon \mathrm{Hom}_{k-\mathrm{alg}} (A, k) \to \mathrm{mSpec} (A) \colon \alpha \to \mathrm{Ker} \alpha
は全単射である．

証明．（単射性） \alpha \in \mathrm{Hom}_{k-\mathrm{alg}} (A, k) は前者なので， A / \mathrm{Ker} \alpha \simeq k となり M := \mathrm{Ker} \alpha は極大イデアルである． f \in A とし， [f ]_M = a \in k とすると， f - a\cdot 1 \in M であり， \alpha を作用させれば， \alpha(f) = a が分かる．よって， \alpha(f) = [f ]_M である．これにより， \tau(\alpha) = \tau (\beta)， つまり， \mathrm{Ker} \alpha = \mathrm{Ker} \beta = M ならば，任意の f \in A で \alpha (f) = \beta (f) となる．つまり， \alpha = \beta．

（全射性） M \in \mathrm{mSpec} A とする． R/M \simeq k より 写像 \alpha \colon R \to k が得られる．よって \sigma は全射である． \square

この定理と命題により， k が代数的閉体かつ A が有限生成であれば，
\qquad \displaystyle \mathrm{mSpec} A \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Aff.Sch/} k } (\mathrm{Spec} k, \mathrm{Spec} A)
が成り立つ．右辺は素イデアルで幾何を考えたときの射であり，このように素イデアルで考えても極大イデアルが復元できる．ここで k を一般化することで他の視点で点を定義できる．

定義
k 代数 A とk 代数 R に対して，多様体 X = \mathrm{Spec} A の R 点 X (R) を
\qquad \displaystyle X (R) := \mathrm{Hom}_{\mathrm{Aff.Sch/} k } (\mathrm{Spec} R, \mathrm{Spec} A) \simeq \mathrm{Hom}_{k-\mathrm{alg}} (A, R)
で定める．

上で述べたことは， X(k) \simeq \mathrm{mSpec} A と書くことができる．


最後に k が代数的閉体でないときの R 点を具体例で見てみる．

k = \mathbb{Q} として， k 代数 A = \mathbb{Q} [X] / (X^2 + 1) を考える． X = \mathrm{Spec} A とする． X( \mathbb{Q} ), X(\mathbb{R} ) は空集合である．なぜなら， \alpha \in X( \mathbb{Q} ) = \mathrm{Hom}_{k-\mathrm{alg}} (A, \mathbb{Q}) （または X(\mathbb{R} )）とすると， X^2 + 1 = 0 より \alpha(X)^2 + 1 = 0 となるが， \mathbb{Q}（または \mathbb{R}）にはそのような \alpha(X) が存在しない．一方， \alpha (X) = \sqrt{-1}, -\sqrt{-1} と定めればそのような準同型写像が存在するので X (\mathbb{C}) は 2 つの元を持つ．
（補足．体の素イデアルは (0) だけなので， \mathrm{Spec} \mathbb{C} から \mathrm{Spec} ( \mathbb{Q} [X] / (X^2 + 1) ) への連続写像は 1 つだけであり， \mathrm{Hom}_{\mathrm{Aff.Sch/} k } (\mathrm{Spec} R, \mathrm{Spec} A) の元が 2 つというのは奇妙に思われるかもしれない．ここがちゃんと言っていないところで，多様体間の射は連続写像と空間の上の環の準同型写像のペアだからである．連続写像だけではだめな（ \mathrm{Hom}_{k- \mathrm{alg} } (A, B) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Aff.Sch/} k } (\mathrm{Spec} B, \mathrm{Spec} A) が成り立たない ）ことはこの例からも分かる．）

この記事を書いて思ったこと

ある程度目処をつけてからこの記事を書いたんだけども，書きながら色々気がついたことがあった．可換環と k 代数の違い，もっと言えば k 代数の良さである． k 代数 A を考えているとき，体 k がその中に常に入っている．体は（環と比べれば） 単純なので，その内部の単純さが A の性質に反映させることができる．有限生成の時には如実にそういう考え方が生きていた．では有限生成でない場合にはどうなのかという話があるが，有限生成でない代数の良さは今回は現れなかった．あと，今回の問題意識での層の価値（コホモロジーとかは置いといて）が分かってなかったけど，ちょっと分かってきた．これについてはまた記事を書くかもしれない．

*1:この点をちゃんと説明している記述が『プリンストン数学大全』のエレンバーグによる「数論幾何学」の項目にあったので引用しておこう。話のレベルがここでの話と少しズレがあるが私が文句言っている点についてちゃんと説明している。"（すべてではないが）いくつかの環が幾何的対象（多様体）から生じることが分かっている．そして，これらの多様体は，これらの特別な環の代数的な性質により記述できることが知っている．では単に，すべての環 R は R の代数的性質で定まる幾何学を持つ「幾何的対象」であると考えればよいのではないだろうか？"

*2:有限生成でなくてもジャコブソン環であれば良い