解ける線形微分方程式の話

微分ガロア理論では初等関数が扱えます．その定義はわりとわかりやすいのですが，さらに微分ガロア理論的にはLiouville拡大の方が重要な関数のクラスを定めています。しかし，その定義は初見では分かりにくいため，その意味を解説します．

Liouville拡大
解ける線形微分方程式
- Step1
- Step2
微分ガロア理論での考え方．
- Step1
- Step2
- Step3
- Step4
- まとめ
おまけ

Liouville拡大

微分体の定義は昔の記事を参照してください．さっそくLiouville拡大を定義します．

（定義）
$K$ を定数体とする．微分体の拡大 $K \subset L$ がLiouville拡大であるとは， $L$ と $K$ の定数体が同じで，単拡大の列
$\displaystyle \qquad K = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = L,\\ \displaystyle \qquad K_{i+1} = K_i (a_{i+1} ), \quad a_i \in K_{i+1}$
が存在して，それぞれの $a_{i+1}$ が
$\displaystyle \quad \bullet \, a_{i+1}' \in K_i$
または
$\displaystyle \quad \bullet\, a_{i+1}'/a_{i+1} \in K_i$
となることをいう．さらに，上の二つの条件に加えて
$\quad \bullet\,$ $a_{i+1}$ は $K_i$ 上代数的
も許したものを広義Liouville拡大という．

ふつうのガロア理論では群の可解が冪根拡大に対応するが，微分ガロア理論では（ざっくりいうと）群の可解とLiouville拡大が対応する．だから，Liouville拡大が大切である．ここで
$\displaystyle \quad \bullet\, a_{i+1}' \in K_i$
という条件は $a_{i+1}' = b_i \in K_i$ だったとすると， $a_{i+1} = \int b_i$ に対応する．つまり，一つ前の微分体の積分を添加したことを意味する．一方，
$\displaystyle \quad \bullet \, a_{i+1}'/a_{i+1} \in K_i$
という条件は $a_{i+1}'/ a_i = b_i \in K_i$ だったとすると， $a_{i+1}' = b_i a_{i+1}$ ，すなわち， $a_{i+1} = \exp ( \int b_i )$ に対応する．つまり，一つ前の微分体の指数積分を添加したことに対応する．なぜこれら二つの操作なのか？指数積分ではなく指数ではだめなのかなどの疑問が湧き上がる．よくよく考えれば，積分と指数積分というのは線形微分方程式を解くときに使う操作であることが分かる．これを説明しよう．

解ける線形微分方程式

線形微分方程式で係数行列が上三角行列ならば，積分と指数積分を用いて解けることをみよう．簡単のため $2$ 連立の線形微分方程式を考える．
$\displaystyle \qquad \frac{d}{dt} \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_{11} (t) & a_{12} (t)\\ a_{21} (t) & a_{22} (t) \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)$
線形微分方程式と聞くと解けるという印象を持つ人がいるだろうが，係数行列が $t$ に依存していると一般には解けない．（解けない理由はおまけの節を参照せよ．）そこで， $a_{21} (t) = 0$ として，係数行列が上三角行列であると仮定しよう．すると，この方程式は以下のステップで解ける．

Step1

まず， $y$ に関する方程式
$\displaystyle \qquad \frac{d}{dt} y = a_{22} (t) y$
を解く．これは，変数分離
$\displaystyle \qquad \frac{d y}{dt} \big/ y = a_{22} (t)$
できるから解ける．具体的には
$\displaystyle \qquad y = \exp \left( \int a_{22} (t) \right)$
となる．つまり， 一階の斉次線形方程式を解くのには，指数積分を用いると解ける．

Step2

次に， $x$ の方程式を考える． $y$ に関しては解けたので，
$\displaystyle \qquad \frac{d}{dt} x = a_{11} (t) x + a_{12} (t) \exp \left( \int a_{22} (t) \right)$
となる．これは非斉次方程式なので，定数変化法を使う必要がある．つまり，斉次方程式
$\displaystyle \qquad \frac{d}{dt} x = a_{11} (t) x$
の解 $\exp \left( \int a_{11} (t) \right)$ を用いて， $x = \exp \left( \int a_{11} (t) \right) C(t)$ と置いて， $C(t)$ を求めると良い．具体的に計算すると， $C(t)$ は
$\displaystyle \qquad \frac{d}{dt} C = a_{12} (t) \exp \left( \int a_{22} (t) \right) \big/ \exp \left( \int a_{11} (t) \right)$
となり，右辺は $t$ の関数なので，積分すれば解ける．よって，解が
$\displaystyle \qquad x = \exp \left( \int a_{11} (t) \right) \int \left[ a_{12} (t) \exp \left( \int a_{22} (t) \right) \big/ \exp \left( \int a_{11} (t) \right) \right]$
となる．以上より， 一階の非斉次線形方程式を解くのには，積分と指数積分を用いると解ける．

このように，線形微分方程式を解くときに積分と指数積分が基本的な操作だったことが分かる．実はこの観点は微分ガロア理論でも大事である．

微分 ガロア理論での考え方．

微分ガロア理論では以下の定理が成り立つ．

（定理）
Picard-Vessiot拡大 $K \subset L$ の微分ガロア群を $G$ とすると以下が同値．

(i) $K \subset L$ は広義Liouville拡大

(ii) $G$ の単位成分 $G^0$ は可解

微分ガロア理論を知らない人のために，直感的に説明すると，Picard-Vessiot拡大とは微分方程式の解を全て添加したもののことで，ふつうのガロア理論でいうと方程式の分解体に対応する．また，微分ガロア群は線形代数群と呼ばれるものになる．簡単に言えば，行列の集まりのことである．線形代数群は位相が入っていて，単位元を含む連結成分を単位成分と呼び $G^0$ と表している．

この定理での不満点は微分ガロア群 $G$ 自体の可解性ではなく単位成分 $G^0$ が対応することである．また，Liouville拡大ではなく広義Liouville拡大が対応している．事情は複雑のように見えるが，この定理の証明の議論を追えば，意外と納得のいく議論の積み重ねでこの定理が成り立つということが分かる．

Step1

線形代数群 $G$ の可解性はよく調べられている．まず， $G$ が三角化可能なら，可解である．一方， $G$ が連結なとき，可解なら三角化可能であるというのがLie-Kolchinの定理である．つまり， $G$ が連結ならば，可解と三角化可能が同値である．だから， $G$ が連結でなくても $G^0$ に対しては，可解と三角化可能が同値である．

Step2

次に，微分ガロア群が三角化可能なら，Picard-Vessiot拡大 $K \subset L$ はLiouville拡大であることが分かる．この証明は，係数が三角行列の線形微分方程式が積分と指数積分で書けることとほぼ同じ考え方で証明できる．もちろん，方程式の係数行列とガロア群は違うから議論も全く同じというわけではないが，積分と指数積分が現れる理由がほとんど同じである．

Step3

微分体に代数的な元を添加するというのは，ガロア群のコピーが有限個作られることに対応する．この操作でガロア群は大きくなるものの， $G^0$ は大きくならない．だから，代数的な元の添加を気にしないときには， $G^0$ を見ればいいということになる．

Step4

微分体に積分や指数積分を添加することは，一般には可解性を保ちながら大きくなることを意味する．正確に言えば，元の群を $G_i$ ，添加した後のガロア群を $G_{i+1}$ とすれば，一般には， $G_i / G_{i+1}$ が可換になる．ただし，積分や指数積分がたまたま代数的な場合があり，このときは $G_i / G_{i+1}$ が可換とはならないことがあるが，Step3に帰着する．

まとめ

上のStepを組み合わせて定理を直感的に証明しよう．Step2により， $G$ が三角化可能なら拡大はLiouville拡大である．しかし，Step1で述べたように， $G$ が連結でなければ可解だとしても三角化可能かは分からないので，一般には， $G$ が可解でもLiouville拡大とは限らない．ただし，連結なら可解から三角化可能が言えるのであった．そこで $G^0$ に注目することになるが， $G^0$ を使うときには代数的な元の添加は分からないので， $G^0$ の可解性から，拡大が広義Liouville拡大である(Liouville拡大かは分からない)ことが分かる．

次に逆を考える．Step4 によりLiouville拡大ならば一般には $G$ が可解であることが期待できる．ただし，Step4で注意したように，積分や指数積分がたまたま代数的ならそうはならない．しかし，Step3 より，代数的な元の添加は $G^0$ の可解性を壊さないから Liouville拡大なら $G^0$ が可解であることが分かる．同じ理由からもう少し一般化できて，広義Liouville拡大なら $G^0$ が可解である．

おまけ

$v$ をベクトル， $A$ を行列として線形微分方程式
$\displaystyle \qquad \frac{d}{dt} v = Av$
を考える． $A$ が定数のときは， $v = \exp (At) v_0$ と解ける．

間違った議論をする． $A$ が $A(t)$ と $t$ に依存するときでも，
$\displaystyle \qquad \frac{d}{dt} \exp \left(\int A(t) dt \right) = \left(\int A(t) dt\right)' \exp \left(\int A(t) dt\right) = A (t) \exp \left(\int A(t) dt \right)$
だから，一般に $v = exp \left(\int A(t) dt \right) v_0$ と解ける．（？）

この議論はどこか間違えており正しくない．けっこう面白いと思うので興味がある人は是非考えて欲しい．

【ヒント】もし
$\displaystyle \qquad \left(\int A(t) dt \right) A(t) = A(t) \left( \int A(t) dt \right)$
が成り立つなら，上の議論は正しい． $A(t)$ が定数のときはこれが成り立つから，定数係数の線形微分方程式は解けると解釈することもできる．