指数関数の代数的独立性

『微分体の理論』を読んでいたときに，指数関数の代数的独立性が必要になった（と思う）が，証明が分からなかった．たまたま読んでいた本に証明がのっていたので，復習をかねてまとめておく．

（定理）
複素数 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ が $\mathbb{Z}$ 上線形独立とする．つまり，整数の組 $(s_1, \dots, s_r)$ に対して， $\sum_{j=1}^r s_j \alpha_j = 0$ ならば，全ての $j$ で $s_j = 0$ とする．このとき， $e^{\alpha_1 x}, \dots, e^{\alpha_r x}$ は $\mathbb{C}$ 上代数的独立である．

（証明） $e^{\alpha_1 x}, \dots, e^{\alpha_r x}$ が代数的従属とすると， $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ が $\mathbb{Z}$ 上線形従属であることを示す．

係数が $1$ の $r$ 変数単項式 $m = X_1^{s_1} \cdots X_r^{s_r}$ に対して， $e^{\alpha_1 x}, \dots, e^{\alpha_r x}$ を代入すると，
$\displaystyle \quad m(e^{\alpha_1 x}, \dots, e^{\alpha_r x}) = \exp \left( \sum_j^r s_j \alpha_j \right)$
が成り立つ．そこで， $\ell_m (\alpha_1, \dots, \alpha_r) = \sum_{j=1}^r s_j \alpha_j$ と定める．仮定より， $e^{\alpha_1 x}, \dots, e^{\alpha_r x}$ に対して，非自明な多項式 $P$ で
$\displaystyle \quad P(e^{\alpha_1 x}, \dots, e^{\alpha_r x}) = 0$
となるものが存在するので，非零の複素数 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ と異なる単項式 $m_1, \dots, m_n$ を用いて，
$\displaystyle \quad P = \sum_{j=1}^n \lambda_j m_j$
と表す．すると，
$\displaystyle \quad P(e^{\alpha_1 x}, \dots, e^{\alpha_r x}) = \sum_{j=1}^n \lambda_j \exp( \ell_{m_j} (\alpha_1, \dots, \alpha_r) x ) = 0$
となる． $\gamma_j = \ell_{m_j} (\alpha_1, \dots, \alpha_r)$ と表すことにする．この式を $n - 1$ 回微分すると全てで $n$ 個の連立方程式が得られる．
$\displaystyle \quad \sum_{j=1}^n \lambda_j \exp( \gamma_j x ) = 0 \\ \quad \displaystyle \sum_{j=1}^n\gamma_j \lambda_j \exp( \gamma_j x ) = 0 \\ \qquad \qquad \displaystyle\vdots \\ \quad \displaystyle \sum_{j=1}^n \gamma_j^{n-1} \lambda_j \exp( \gamma_j x ) = 0$
これは行列で書くと以下のようになる:
$\displaystyle \quad \left( \begin{matrix} 1 & 1 & \dots &1 \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \dots & \gamma_{n} \\ & & \vdots & \\ \gamma_1^{n-1} & \gamma_2^{n-1} & \dots & \gamma_{n}^{n-1} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \lambda_1 \exp( \gamma_1 x ) \\ \lambda_2 \exp( \gamma_2 x ) \\ \vdots \\ \lambda_n \exp( \gamma_n x ) \end{matrix} \right) = 0$
つまり，線形方程式
$\displaystyle \quad \left( \begin{matrix} 1 & 1 & \dots &1 \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \dots & \gamma_{n} \\ & & \vdots & \\ \gamma_1^{n-1} & \gamma_2^{n-1} & \dots & \gamma_{n}^{n-1} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} X_1\\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{matrix} \right) = 0$
は非自明な解を持っているため，係数の行列は正則でない．係数の行列はファンデルモンド行列であり，行列式は
$\displaystyle \quad \prod_{1 \leq j < k \leq n} (\gamma_j - \gamma_k) = 0$
となるから，ある $j < k$ で $\gamma_j - \gamma_k = 0$ となる．
つまり， $\ell_{m_j} (\alpha_1, \dots, \alpha_r) - \ell_{m_k} (\alpha_1, \dots, \alpha_r) = 0$ となる． $\ell_m$ の定義に戻れば，これは $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ が整数係数の非自明な線形関係式を満たすことを意味する． $\square$