微分環と双対数

微分環は、環の構造に加えて微分を考えているものでした。双対数を用いると、微分環は単なる環の議論に言い換えることができるということを知りました。けっこう感動したので、まとめておこうと思います。

双対数の定義
微分環と双対数
双対数の応用:微分を商環に拡張する

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今回の記事では、 $1$ を持つ可換環を環と呼ぶことにします。

双対数の定義

環 $R$ の双対数 $R [\epsilon]$ とは、 $z = a + b \epsilon ,\, a ,\, b \in R$ の集まりで $\epsilon^2 = 0$ となるように演算を定めた環のことです。双対数といいつつ環であることに注意。具体的に演算を計算すると、
$\displaystyle \begin{align*} &(a_1+b_1\epsilon) + (a_2 + b_2 \epsilon) = a_1 + a_2 + (b_1 + b_2) \epsilon\\ &(a_1+b_1\epsilon) \cdot (a_2 + b_2 \epsilon) = a_1 a_2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \epsilon + b_1 b_2 \epsilon^2 = a_1 a_2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \epsilon \end{align*}$

となります。厳密に双対数を定義するには、多項式環 $R[X]$ をイデアル $(X^2)$ で割ったもの、 $R[\epsilon] := R[X]/(X^2)$ とすれば良いでしょう。

双対数は英語では dual number と言います。定義が似ているのは複素数ですね。 $R$ を実数の集合として、 $z = a + bi$ の集まりで $i^2 = -1$ と演算を入れたものが複素数でした。
複素数も $\mathbb{C} = \mathbb{R} [X ] / (X^2 + 1)$ と厳密に定義ができます。

環の元 $a$ が可逆元であるとは、 $a a^{-1} = 1$ となる元 $a^{-1}$ が存在することでした。つまり、 $a$ で割ることができるということです。後の議論で使う、以下の補題を覚えておいてください。

補題１
以下は同値である。
(1) $a + b\epsilon \in R[ \epsilon ]$ が可逆元。
(2) $a \in R$ が可逆元。

実際、
${ \displaystyle (a+b \epsilon)^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{b}{a^2} \epsilon }$
の関係がすぐに分かります。

さて、微分環と双対数の関係を考えます。
環 $R$ が微分環であるとは、写像 $D:R \to R$ が存在して、
(1) $D(a+b) = D(a) + D(b)$
(2) $D(ab) = D(a) b + a D(b)$ （ライプニッツ則）
が成り立つことを言うのでした。
このとき、 $D$ を $R$ の微分と言います。

ここからが面白いところです。実は、微分の条件は双対数の環の準同型の条件と同値なのです。

補題２
$R$ を環、 $R[\epsilon]$ はその双対数、 $D:R\to R$ は写像とします。以下は同値である。
(1) $D: R \to R$ が微分である。
(2) $a \mapsto a + D(a) \epsilon$ で定義された写像 $F_D : R \to R [\epsilon]$ が環の準同型である

特に、 $F_D$ の積に関して準同型であるという条件を見てみると、
${\displaystyle F_D(a b)= F_D (a) F_D(b) }$
つまり、
$\displaystyle ab + D(ab)\epsilon= (a +D(a) \epsilon) (b + D(b) \epsilon)$
さらに、
$\displaystyle ab + D(a b) \epsilon = ab +(D(a) b + a D(b))\epsilon$
となるので、 $F_D$ が積に関して準同型であることと、 $D$ がライプニッツ即を満たすことが同値であることが分かります。他の条件は簡単に分かります。

このように微分と双対数は深い関係があるのです。上の補題以外にも、微分と双対数を結びつける考え方があります。それを使って微分係数を計算するテクニックがあるそうです。双対数はたかだか多項式の計算をするだけで、極限の操作がないことが効いているようです。今回は関係がないのでこれ以上は述べませんが、双対数か二重数で調べると出てくると思います。

双対数の応用:微分を商環に拡張する

さて、以上のことを応用してみましょう。
微分環 $R$ の積閉集合 $Q$ による商環 $Q^{-1}R$ に、 $R$ の微分を拡張するということを考えます。簡単に言うと、商環とは $Q$ の元を可逆元にした環のことでした。 $Q = \{1 ,\, x ,\, x^2 ,\, \dots \}$ と定義すると、 $Q^{-1}R$ では $x$ が可逆元になります。 $R$ が整域の時は、 $Q = R\backslash \{ 0 \}$ と取ることができ、 $Q^{-1}R$ では $0$ 以外の元が可逆元になります。つまり、体になります。これを $R$ の商体と言うのでした。

さて、以下の簡単な補題に注意しましょう。

補題３
環の準同型 $f: R_1 \to R_2$ と $R_1$ の積閉集合 $Q$ があるとする。
任意の $q \in Q$ で $f(q)\in R_2$ が単元なら、 $f$ を $Q^{-1} R_1$ から $R_2$ への環の準同型 $\bar{f}$ に一意に拡張できる。

これは、 $\displaystyle \bar{f}( \frac{p}{q}) = \frac{f(p)}{f(q)}$ の関係に注意すればすぐに分かります。

さて、 $R$ は $D$ を微分に持つ微分環とします。上の補題を用いて、 $Q^{-1} R$ に微分を拡張することを考えましょう。微分を拡張するとは、 $Q^{-1}R$ に微分が定義でき、その $R$ への制限が $D$ と一致することを言います。

補題２のように定義した $F_D : R \to R[\epsilon]$ と自然な単射 $R[\epsilon] \to Q^{-1} R [\epsilon ]$ の合成を $G: R \to Q^{-1} [\epsilon]$ とします。つまり、 $G(p) = (p/1) + (D(p)/1) \epsilon$ です。 $q \in Q$ に対して $q/1 \in Q^{-1} R$ は単元なので、補題１と３により $G$ は環の準同型 $\bar{G}: Q^{-1} R \to Q^{-1} R [ \epsilon ]$ に拡張できます。ある関数 $E:Q^{-1} R \to Q^{-1} R$ が存在して $\bar{G} (a) = a + E(a) \epsilon$ となる形になっているので、補題２により微分 $D$ の拡張 $E:Q^{-1} R \to Q^{-1} R$ が一意に定まることがわかりました。

どのように拡張されるかは補題（の下に書いた式）から計算できる。実際、補題１より
$\displaystyle \left(\frac{q}{1} + \frac{D(q)}{1} \epsilon \right)^{-1} = \frac{1}{q} - \frac{D(q)}{q^2} \epsilon$

なので、
${\displaystyle \begin{align*} \bar{G} \left(\frac{p}{q} \right) &= \left( \frac{p}{1} + \frac{D(p)}{1} \epsilon \right) \left( \frac{1}{q} - \frac{D(q)}{q^2} \epsilon \right) \\ &= \frac{p}{q} + \frac{D(p) q - p D(q)}{q^2} \epsilon \end{align*} }$