記号の世界ゟ

このブログでは, 数学書などの書評を書きます。また、受験などの勉強法をまとめます。

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新入生に勧める数学書2018

数学 書評

ツイッターで大学新入生にオススメの数学書を、ハッシュタグ #新入生に勧める数学書2018 で募集しました。


皆さんのオススメの本を抜粋して紹介します。

参加してくださった皆様、ありがとうございました。
（ツイートの掲載は許可をとっています。了承していただいた皆さん、ありがとうございました。）

はじめに

こんな企画を始めたものの、知らない人が勧める本にすぐに飛びつくのではなく、著名な数学者が勧める本をまずは本屋で見て欲しいと思います。
それを知るには、ちょうど、毎年この時期に出る『数学ガイダンス２０１８』がオススメです。
数学者が勧める本の紹介や、数学の各分野の紹介、大学での勉強法などがまとめられています。
（とは言え、ツイッターで紹介してくださった多くの本は、この本でも紹介されています。）

あと、個人的な意見を少し。
大学で使う教科書には、４年やそれ以上の長い期間使い続けることができるものがあります。
いわゆる名著と呼ばれる本や大学で勧められる本はそういうものが多いです。
最初は、自分で理解できるように平易に書かれた簡単な本を買いがちですが、そういう本は半年もすれば必要なくなることも多いです。
なので、是非とも長年読み続けられてきた名著を、最初は理解できなくても、買っておいて折にふれてチャレンジして欲しいです。
これは難しい本を読めと言っているのではないです。
また、もちろん自分で理解できる本から始めることも大事ですし推奨しますが、分かりやすさという基準では捕らえられない数学書の価値も知って欲しいところです。

あと、大学の図書館を有効活用して欲しいですね。
本を買うときは、本屋や図書館でちゃんと自分で見てからにしましょう。

一般

高校数学と大学数学ではギャップを感じることが多いと思います。そのギャップを埋めてくれる本や、数学の面白さを伝える本を見ていきましょう。
☆数学ガール シリーズ


数学ガールで数学が好きになった人は多いようです。大学生でも読んだことがなければ是非とも読んで欲しいです。
たくさん本が出ていて何を買えばいいのか分からない場合は、以下のページを参考にしてください。

☆ オイラーの贈り物

☆志学数学


この本は、本当にオススメです。
大学生に限らず、数学者や研究者に憧れている人や数学に興味がある人は是非とも読んでみてください。

☆数学の大統一に挑む


数学の最先端を知ることができる本はなかなかありません。
いろんな概念を出来るだけ易しく解説しているので、すべて読み通すのは難しいかもしれませんが、是非とも手にとって読んで欲しい本です。

微積分

微積分は名著と呼ばれる和書が多いです。
以下の高木、小平、杉浦の三冊のうち気に入ったものを買っておいて損はしないと思います。

☆解析概論


「取り敢えず、高木貞治さんの解析概論を読んでおけば微積の授業で困る事は無くなるはずです！」
という意見もありました。
著者の高木貞治は近代日本数学の父とも呼ばれています。
昔から長年読まれ続けてきた本であり、一番有名な数学書だと思います。
実はそれほど難しいわけでもないですが、新しい本に比べると書き方の面で読みづらいかもしれません。

☆解析入門I II （杉浦光夫）



私が勉強したのもこの本でした。
難しいところがたくさんありますが、普通の本には書いていないけど大事なことがたくさん書いてあります。
数学の力をつけたい人や、授業では分からなかったことを調べるのにもオススメです。

☆解析入門I II （小平邦彦）


小平先生はフィールズ賞をとった数学者です。
丁寧に書かれていて、分かりやすさも重視されている本です。

上の三冊が有名ですが、難しい場合には以下の本を紹介している方がいました。
☆解析入門 （ラング）



この本自体は、私はちゃんと読んだことがありませんが、ラング先生はたくさんの本を書かれていて、私は"Algebra"をよく読みます。
数学を続けていけば、この本ではなくてもラング先生の本を読むことになるのではないでしょうか。

他にもたくさんの本が紹介されていました。
☆解析入門1-6 （松坂和夫）
https://twitter.com/Annihilated_Uni/status/971243338669215745

☆微分積分（黒田成俊）

☆対話 微分積分学（笠原晧司）


☆解析学入門（福井常孝／上村外茂男／入江昭二／宮寺功／前原昭二／境正一郎）

☆解析入門 （田島一郎）

☆イプシロン-デルタ （田島一郎）



私は読んだことがないのですが、この本は有名ですね。
イプシロンデルタ論法は最近授業で扱われないことも多いそうですが、早いうちに理解できると楽しいです。
（はじめは難しく感じるかもしれませんが、実は難しくないので、数学を勉強しているうちに絶対に理解できます。分からなくても落ち込む必要ないと思います。）

線形代数

線形代数は本当にたくさんの本があります。
基本的には授業で紹介される本を使うと良いと思いますが、それでは分からないと思った時には、評判のいい本や自分の気に入った本を使うと良いでしょう。
☆線形代数入門（斎藤正彦）



☆線形代数学（佐武一郎）



☆線形代数（長谷川浩司）

☆線形代数学（三宅敏恒）

副読本的な本も紹介しておきます。
☆はじめてのリー群
☆はじめてのリー環


線形代数は本当にいろんな分野で役に立ちます。
リー群やリー環はその典型例で、これ自体が非常に大切な概念です。
これらの本は線形代数を復習しながら、その使い方も分かるように書かれています。

☆２次行列のすべて


今の高校生は高校で行列を学びませんが、この本は高校の行列で教えられていたことに加えて、大学の線形代数で勉強することを２次行列に限定して一通り勉強できるようになっています。

代数学(整数)

代数学は大学に入ったばかりでは授業がないですが、興味がある人が多いと思います。整数の本もここで紹介しておきます。

☆数論への招待

☆初等整数論講義

☆代数学（雪江 明彦）

みんな大好きガロアの本も紹介されていました。

☆ガロアと方程式

☆代数と数論の基礎
☆代数方程式とガロア理論

幾何

大学に入ったばかりでは幾何の授業があまりないため、それほど幾何の本は紹介されていませんでした。
しかし、小林昭七先生の以下の本を紹介する人は多かったです。

☆曲線と曲面の微分幾何


この本は具体例が豊富で非常に分かりやすいです。
抽象的な幾何でつまずいている人や幾何に興味がある人はこの本でトレーニングするといいと思います。

☆微分形式の幾何学


この本は私からもオススメします。
最初、幾何で困ったらこの本を読んでいました、この本以上に頼れる本はないです。
入学したばかりではピンとこないかも知れませんが、頭の片隅に置いておいて欲しいです。

集合と位相

数学科で勉強する集合や位相といった分野は、高校とのギャップが最も大きい分野だと思います。

☆集合・位相入門


位相と言えば真っ先にあがる本です。
私もこれで勉強しました。
分かりやすく書いているわけではないですが、丁寧に書かれていて、ゆっくり読めばちゃんと分かるようになっています。

☆集合と位相



この本は分かりやすいとすごく評判の本ですね。
誰にも勧められる本はこれだと思います。

☆トポロジー入門

この本も非常に分かりやすいと評判です。
授業や他の本で挫折した時には是非この本を手にとって欲しいです。

みなさんのアドバイス

本に限らずアドバイスを書いてくださった方もたくさんいましたので、まとめておきます。


その他

上で紹介した枠組みには入らないような本やちょっと変わった本の紹介もありました。いい本ばかりなのでまとめておきます。
☆ 最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。


カクヨムで連載中の小説の書籍化です。
少しふざけた本のように見えるかもしれませんが、数学の本として本当にいい本だと思います。（私も持っています。）
連載記事は以下で無料で見ることもできます。書籍版は書き下ろしの短編が入っています。
kakuyomu.jp

☆本質から理解する数学的手法


この本は知らなかったですが、目次を見たところ、まさに新入生にぴったりの本ですね。

☆数学文章作法 基礎編


数学ガールの著者による数学の文章の書き方の本です。
この本も非常にいいです。

☆30講シリーズ


このシリーズを読んで理解できたと言っている人を普段もよく見ます。
授業が分からなくなった時には、このシリーズの本を読むことをお勧めします。

☆マセマシリーズ


問題を解きながら重要な概念を理解していくことができます。
ちゃんとした教科書を買った上でこの本で訓練するといいと思います。

☆数理解析学概論


大学の数学で勉強する様々な分野がこれ一冊で勉強できます。
とは言え、この本の最大の特徴は解析学の説明です。
解析学の微分方程式への応用は大学の数学でもなかなかたどり着けないのですが、現代数学で非常に重要な部分を占めています。
それを知るには最適な本だと思います。

☆数理論理学


この本は僕が数学を好きになったきっかけの本でもあってオススメしたいところです。
完全性定理や不完全性定理などは聞いたことがあるかもしれませんが、そのようなことも書いています。

☆非線形ダイナミクスとカオス


力学系の本の中で最も易しく書かれている本だと思います。
力学系自体も面白いですし、解析がどのように応用されるかを知っておくと、発展的な内容を勉強するモチベーションにもなると思います。

☆Lawvereの書籍
https://twitter.com/WatanabeYohei/status/972112043930140672
圏論を知っていると、いろんな分野のつながりが良くわかるようになります。
例をあまり知っていない状態で圏論だけを勉強してもなかなか分かるようにはなりませんが、他の数学と一緒に少しずつ勉強していくと良いと思います。
最近は入門書やネットで読める易しい解説も多く、勉強しやすいと思います。

☆カラー図解 数学事典


これも新入生にオススメの本です。
少し高価なので、合格祝いに買ってもらいましょう。

☆LaTeX2ε 美文書作成入門

LaTeXを使えば、数式が綺麗に書けます。
理系ならいつかこの本を買うことになると思います。

☆数学女子


数学科の雰囲気が分かる漫画です。

吉田善章『応用のための関数解析』

数学 書評

今回は関数解析の本の感想を書きます. 関数解析の使い方が分かる非常に面白い本です.

新版 応用のための関数解析―その考え方と技法 (SGC BOOKS)

新版 応用のための関数解析―その考え方と技法 (SGC BOOKS)

本の内容

本著は偏微分方程式や物理への応用を目指した関数解析の入門書です. １章はBanach空間やHilbert空間など有限とは限らないベクトル空間についての解説で, ２章はそれらの間の"写像"である作用素についての解説です. この２つ章で関数解析の基本的な考え方が学べます. ３章は関数解析の偏微分方程式の応用です. ４章はベクトル場の理論, ５章は非線形理論です. 付録は３つあり, 付録AとBではよく出てくる関数空間と不等式がそれぞれまとめてあるので便利です. 付録Cは微分形式やコホモロジーの簡単な説明で, ４章で使う予備知識がまとめてあります.

感想


関数解析や偏微分方程式論に興味はあるのですが, 概念や定理が膨大すぎて, これまではなかなか分かったという感じになりませんでした. 関数解析の本も偏微分方程式の本でも, 初めから読めば理解は出来るんだけど, 素人でも定義の意味や定理の価値が分かるように書かれている本は少ないと思います. (大学の授業を受けるなど, プロの考え方に触れることができれば別なんでしょうが...)


この本の良いところは, 定義や定理の必要性や価値が分かるように書いているところです. 特に, どこに困難がありどうやって解決できるかが分かるようになっています.

１章と２章で関数解析の基本的な概念を説明しているのですが, 必要最低限だけを書いているので迷子にならずに読み切ることができます. ただし, 後の章で使うために説明してるものがいくつかあり, その記述だけでは意味が分からないものがあるので, 唐突だと感じた概念は読み飛ばしても良いかもしれません. ところで, 恥ずかしながら, 位相空間論の可分性(separablility)がよく分かってなかったんですが, 関数解析の文脈では非常にスムーズに理解できますね. この本のおかげで分かりました. (この概念は用語が悪い!!).


面白かったのは３章です. 偏微分方程式や発展方程式がテーマではありますが, この章は線形作用素の性質の解説の役割を担っています. 偏微分方程式は特に楕円方程式を扱っています. 方程式の条件(非斉次項)の滑らかさが解の滑らかさに遺伝するという楕円型方程式の性質が, どのような仕組みで現れるのかということが詳しく説明されています. さらに強楕円作用素なる概念があることも紹介しており, 楕円作用素論の奥行きを感じさせてくれます. 個人的には, 楕円型・放物型・双曲型とそれぞれの偏微分方程式が個性を持っていて, それぞれで研究内容が全然違うということが面白いと思っています. (この本で, 楕円型以外について少しぐらい説明があるとよかったんですが.) 話を戻します. 数値計算で使われる近似理論(Galerkin近似)についての説明もあります. 数値計算という数学に乗りにくそうな分野が, 関数解析は見事に扱ってみせるので, 数学以外の人も存在は知っていてほしい内容です. さて, 発展方程式に関してですが, 半群やHille-Yosidaの定理など聞いたことはあるもののよく分かっていなかった概念が, 非常によく分かりました. ポイントは有界作用素が非常に扱いやすいということと, 有界作用素でできることを非有界作用素の場合にどのように拡張するか, ということのようですね. 簡単に言えば, ある種の性質を持つ非有界作用素が有界作用素で近似できるというのがYosida近似であり, これによって非有界作用素の問題は有界作用素の問題に落ちる(有界作用素の解の極限で解ける)というのがHille-Yosidaの定理です. これじゃ意味が分からないかもしれませんが, この本を読むとこの定理の価値が分かるようになっています. 感動しました.


４章と５章は実はちゃんと読めていません. ４章はベクトル解析の内容で, 関数解析とどう関係するのかなと思いました. 簡単に言えば, ストークスの定理を扱っており, 境界の扱いで関数解析が使われます. 確かに, 偏微分方程式の境界値問題を考えるならこの章は自然な流れにも思います. その他にもWeyl分解やHodge-Kodaira分解なるものが出てきます. 電磁気への応用も書いてあるので, 物理的な意味を考えながら読むと良い章なのかもしれません. ５章は非線形問題で, もちろん一般の非線形問題を考えるわけですが, ３章で線形作用素を考えていたので, この章で非線形作用素を考えるという構成にもなっているわけです. この章も物理への応用に使えるものばかりですが, この本でそれが分かるようになっているわけではありません.

最後に


関数解析や偏微分方程式に少し触れたことがある人が, 専門書に行く前に読む本として最適だと思います. 少ないページ数で多くのトピックを扱っているため, 当然この本の説明だけでは分からないだろうなという部分も多く, この本で関数解析や偏微分方程式に初めて触れるという人にはさすがに厳しいかもしれません. 関数解析の専門的な本(Yosida, Functional Analysisなど) は分厚くて難しい本が多いです. しかし, この本で, 専門的な関数解析の本でやりたいことがやっと分かった気がしました. もしかしたら, この本に書いてあることが分かる人は専門書を読むべきだが, そうでない人はまずこの本を読むべきだと言えるのかもしれません. 僕は, そういう立ち位置の本だと思います.

【書評】求積法のさきにあるもの

書評 数学

今回は磯崎洋『求積法の先にあるもの　微分方程式は解ける』を紹介します。
簡単に読めるが、なかなか難しいことまで書いてる良書です。

求積法のさきにあるもの: 微分方程式は解ける

求積法のさきにあるもの: 微分方程式は解ける

こんな人にオススメ

・微分方程式を勉強しているが、面白さが分からない。
・偏微分方程式にも触れてみたい。
・微分形式など記法が分からない。
・微分方程式の応用が知りたい。

内容紹介

先生と生徒の対話形式で進んでいきます。
そのため、式の解釈や、問題を解く時の考え方が分かるようになっています。

１章では、簡単な常微分方程式や偏微分方程式の解き方を紹介しています。
積分因子をきっかけにして、常微分方程式を解くことと１階の偏微分方程式が対応することを簡単に紹介しています。
最後に、応用として包絡線の求め方を説明しています。

２章は、常微分方程式と１階の偏微分方程式の対応をきちんと理解することがテーマです。
接空間、第一積分、初期値問題など、微分方程式で必須の概念が紹介されます。
その後、特性方程式や成帯条件がどのように解釈できるかを説明し、常微分方程式を解くことと１階の微分方程式を解くことが明らかになります。
その応用として、ハミルトン系を偏微分方程式に帰着させて解く手法であるハミルトン・ヤコビの理論が説明されます。

３章は解析力学です。
微分形式、余接空間、共変ベクトル・反変ベクトルなどが丁寧に説明されています。
そして、ハミルトン系とラグランジュ系の説明に入ります。
特に、正準変換やその母関数が詳しく説明されています。

４章は、これまでのことを幾何光学に応用することがテーマです。
反射や屈折、ホイヘンスの原理が、これまでの知識を使うと説明できることが明らかになります。
その後、シュレディンガー方程式をきっかけに経路積分まで紹介されています。

読んだ感想

細かいところまで厳密に書かれてはいないが、引っかかりやすい場所が丁寧に説明されています。
微分方程式という分野は、陰関数定理が必要なところを中心に、理論的に考えると結構面倒なところが多いです。
しかし、必要な注意がきちんとありつつも、ほどよいところで止めてくれるため、すいすい読み進めることができます。
ただし、すごく細かいところまでは書いてないため、自分で手を動かしてみないとなかなか理解できないでしょう。
自分で計算しないとダメな部分に、わざとギャップを置いている感じがあります。

本当に簡単な本には書いていないことが書いてあります。
難しい本にしか書いてものも、分かりやすく書いてあるので非常に良かったです。
特性方程式やハミルトン・ヤコビがスッと理解できたことが個人的な収穫でした。
母関数も、こんな簡単だったんだなあ、と考えながら読んでました。
４章まだ理解できていない部分が多いのでまた読もうと思います。

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あたりまえだけど、とても大切なこと

書評 教育

タイトル　あたりまえだけど、とても大切なこと　子どものためのルールブック

著者　ロン・クラーク

訳者　亀井よし子

出版社　草思社

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ルール１　大人の質問には礼儀正しく答えよう

ルール４　人の意見や考えを尊重しよう

ルール１５　宿題は必ず提出しよう

などなど・・・

これらは小さいときに、親や先生から何度も言われてきたのではないでしょうか？

この本は、アメリカの素晴らしい小学校教師であるクラークさんが、小学校の担当クラスで実際に採用しているルールを、感動的なエピソードとともに紹介するものです。

 

クラークさんは、ここで紹介するルールは単に学校生活のためではなく、子ども達の将来のために身につけるべき習慣であると考えています。

例えば、ルール１は、人に対して敬意を持って接すること、そのことは大人とコミニュケーションをとるための便利な「道具」であるとの考えからきたものです。

この本で書かれているルールは、人のため自分のためになるものばかりだけど、ついつい忘れがちのことばかりです。

実際、この本を読んでずいぶん考えさせられました。

これらのルールを実行できる人が増えれば、世界はもっと幸せになるでしょう。

人間愛が詰まった本だと僕は思います。

 

この本を魅力的にしているのは、クラークさんの人間性と実際の教員生活で出会ったエピソードでしょう。

小学校ですから、思わぬ困難もあるのですが、クラークさんがどう立ち向かったか、小学生と共にどのように乗り越えていったか。

ルールの大切さがエピソードによって引き立っています。

学校を離れた日常生活での、クラークさんの個人的なエピソードも印象的なものが多いです。

 

僕は、たくさんの人にこの本を読んでほしいと思います。

子どもではなく、むしろ大人で必要とする人が多いでしょう。

そして、この本が人生の指針となることでしょう。

おまけ

教育に興味がある人や教員の人は

ルール４２　学校に<ドリトス>をもってこない!

というルールについて考えてほしいと思います。

このルールは教育実践において大切な視点があり、また非常に応用がきくものであると思います。

このルールの意図が気になったら、ぜひこの本を手にとってください。

 

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関数論の古くて新しい視点　アンリ・カルタン「複素関数論」

書評 数学

タイトル 　Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables

著者　Henri Cartan

出版社　Dover

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　私が複素関数の面白さに目覚めた本

ブルバキのメンバーのアンリ・カルタンによる複素関数論の本です。
　特徴としては、
  1. 形式ベキ級数の理論をフルに使った導入
  2. 微分形式を前提にした積分
  3. 多変数関数, 楕円関数, 微分方程式と様々な話題が書かれている
などが挙げられます。英語の本ですが翻訳もあるみたいです。
 

内容

　日本の講義や本では形式ベキ級数の理論があまり扱われないと思います。
形式ベキ級数とは収束するとは限らない級数であり, その中でも収束する(収束半径が0でない)ものが複素関数論の主役です。
複素関数では正則な(微分可能な)関数は解析的なので, 形式ベキ級数の方が正則関数よりも一般的な概念となっていることにも注意してください。
一般的と言っても, ベキ級数だけで, 可逆元, 逆関数, 微分などの理論が簡単に扱えます。
その特殊なケースとして正則関数を考えることで, より正則関数の特徴を明確に理解することができます 。
 
数学の他の分野の理論が関数論でいかに使われるかということを知ることができます。
逆に言うと、想定する前提知識が少し多く、この本の欠点ではあるでしょう。
環や体の言葉を少し知っていないと読み辛いかもしれません。　
また、積分で微分形式が使われているのは, この本を読む上で少しハードルになっているかもしれません。
また, 様々な話題が書かれていると言っても, 紹介だけで終わっているものもあります。

　まとめ

  • 新しい見方ができるようになる
  • 様々な話題を知ることができる
  • 複素関数論のテキストの1冊目としては難しいかも
複素関数論の2冊目の本としてはこれ以上のものは無いのでは?
このような素晴らしい本が安く買えるのはDoverの魅力ですね。

 

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