記号の世界ゟ

このブログでは, 数学書などの書評を書きます。また、受験などの勉強法をまとめます。

発散級数とBorel-Laplace総和

数学

この記事では，収束するとは限らない級数に関数を対応させる方法である，ボレル変換とラプラス変換を説明します．例として，ときどき紹介される謎の式
\displaystyle \qquad 1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + \dots = 0.59634732...
についても説明します．

前提知識がある人のために注意しておくと，本記事では原点が特異点の場合を考えている．よって，ラプラス変換の定義や形式ボレル変換は，無限遠点を特異点と考えるときと違う．また，ジュブレー位数が 1 の場合だけを考えていく．さらに，基本的に角領域が \arg s = 0 で二等分されている状況を考える．

収束級数と形式的ベキ級数

収束ベキ級数があったとき，それを関数と同一視してしまいがちであるが，厳密には区別すべきである．収束するとは限らないベキ級数はハットの記号を使って \hat{f} (z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n のように表す．形式ベキ級数の集まりを \mathbb{C} [ [ z ] ] と表す．

形式ボレル変換

さて，収束しないベキ級数があったとき，無理やり係数を小さくして収束級数に変換するのはそれほど不自然ではないだろう．そこで以下の変換を考える．

定義（形式ボレル変換）
形式ベキ級数 \hat{f} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n z^n のボレル変換を
\displaystyle \qquad \hat{\mathcal{B}} (f) (s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} s^n
と定義する．

ここで，変換前と変換後が分かりやすいように変数も z から s に変えている．
ボレル変換の逆写像
\displaystyle \qquad \sum_{n=0}^{\infty} a_n s^n \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} n! a_n z^n
を考えたいが、単に、ボレル変換にこれを作用しても元に戻るだけである。なので、この変換を意味のある別の形にしなければいけない。実はこの変換はラプラス変換である。

定義　（ラプラス変換と逆ラプラス変換）
g(s) のラプラス変換
\displaystyle \qquad L(g) (z) := \int_0^{\infty} e^{-sz} g(s) ds

f(z) の逆ラプラス変換
\displaystyle L^{-1} (f) (s) := \int_{C} e^{zs} f(z) d z
（積分路の詳細は省略）

ベキ関数のラプラス変換を考えよう．

命題
\displaystyle \qquad L(s^n) (z) = \int_0^{\infty} e^{-sz} s^n ds = \frac{n!}{z^{n+1}}
特に，適当な仮定の下
\displaystyle \qquad L \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n s^n \right) (s) = \sum_{n=0}^{\infty} n! a_n \frac{1}{z^{n+1}}

（証明）数学的帰納法で示す． n = 0 のとき、
\displaystyle \qquad \int_0^{\infty} e^{-sz} ds = \left[ - \frac{e^{-sz}}{z} \right]_0^{\infty} = \frac{1}{z}
であり， n=k-1 で成り立つとすれば，
\displaystyle \qquad \int_0^{\infty} e^{-sz} s^k ds = \left[ - \frac{e^{-sz}}{z} s^k \right]_0^{\infty} + \frac{k}{z} \int_0^{\infty} e^{-sz} s^{k-1} ds\\ \displaystyle \qquad \qquad \qquad \quad = \frac{k}{z} \frac{(k-1)!}{z^{k}}\\ \displaystyle \qquad \qquad \qquad \quad = \frac{k!}{z^{k+1}}
となるので，数学的帰納法により成立． \square

この命題で残念なところが二つあります．まず，ラプラス変換後は z の多項式ではなく， 1/z の多項式になっている．また，n! がかかる項が 1/z^{n+1} の係数なので、一つ期待とはずれています．そこでうまくいくようにラプラス変換を少し変えましょう．

定義
g(s) に対して
\displaystyle \qquad \mathcal{L} (g) (z) = z^{-1} \int_0^{\infty} \exp \left(-\frac{s}{z} \right) g(s) ds
と定める．以下では \mathcal{L} (g) も g のラプラス変換という*1．

命題
\displaystyle \qquad \mathcal{L} (s^n) (z) = z^{-1} \int_0^{\infty} \exp \left(-\frac{s}{z} \right) s^n ds = n! z^n
特に，適当な仮定の下，
\displaystyle \qquad L \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n s^n \right) (s) = \sum_{n=0}^{\infty} n! a_n z^n

証明は普通のラプラス変換と同じである．

さて，積分
\displaystyle \qquad \int_0^{\infty} \exp \left( -\frac{s}{z} \right) g(s) ds
は |g(s)| \leq e^{c |s|} と指数的に抑えられるとすると，
\displaystyle \qquad \left| \int_0^{\infty} \exp \left(-\frac{s}{z} \right) g(s) ds \right| \leq \int_0^{\infty} \exp \left(-\mathrm{Re} \left( \frac{s}{z} \right) \right) |g(s)| ds \leq \int_0^{\infty} \exp \left( - \frac{s}{|z|} \cos ( \arg z ) + c s \right) ds
より，
\displaystyle \qquad \cos (\arg z) > c |z|
となる z では積分が収束する．よって，特に， - \frac{\pi}{2} < \arg z < \frac{\pi}{2} かつ十分絶対値が小さい z で f(z) = \mathcal{L} (f) (z) はちゃんと定義される．

これが非常に面白いことになっていることに気づいてください．形式ボレル変換にその逆変換を行ったら元に戻って何も変わらないはずです．しかし，ラプラス変換は関数から（定義域が全体とは限らない）関数への写像となっています．特に，もともと形式ベキ級数で関数が定まらないものであっても，ラプラス変換で戻した時はあくまで - \frac{\pi}{2} < \arg z < \frac{\pi}{2} と定義域を制限しているため矛盾は起こっていないのです．

さて，本当にもとの関数に戻るのでしょうか？厳密にいうともとは形式ベキ級数 \hat{f} であり，ボレル変換とラプラス変換後の f は関数なので比較しようがありません．そこで，べき級数と関数を比較する方法を考えましょう．

漸近展開

まず角領域を定義する．

（定義）
実数 \theta_1 < \theta_2 に対して，
\displaystyle \qquad S(\theta_1, \theta_2) := \{z \mid \theta_1 < \arg z < \theta_2 \}
とする．

複素平面では \arg z = \arg (z + 2\pi) なので， \theta_2 - \theta_1 > 2\pi のときに S(\theta_1, \theta_2) が意味がないように思うかもしれないがそうではない．曖昧に書いてしまったが，例えば \log z のような多価関数は \arg z' = \arg z + 2 \pi のとき \log z' = \log z + 2 \pi i となる．このように，多価関数を1価関数と見るために， 0 の角度と 2\pi の角度を区別する必要がある．（曖昧な書き方だが分かる人には分かるだろうから細部にこだわらない．）

また， r > 0 に対して， S(\theta_1, \theta_2, r) = S(\theta_1, \theta_2) \cap \{ z \mid | z | < r \} とおく． S(\theta_1, \theta_2) や S(\theta_1, \theta_2, r) を開角領域という．また，開各領域の閉包から原点を除いたものを閉角領域という．また， \theta_2 - \theta_1 を角領域の角度と呼ぶことにする．

（定義）
開角領域 S と S で解析的な関数 f を考える．
f が形式ベキ級数 \hat{f} (z)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n に位数 1 で漸近的に等しい，あるいは， \hat{f} に位数 1 で漸近展開可能であるとは， S に含まれる任意の閉角領域 S_1 に対して，ある定数 C,K>0 が存在し，任意の自然数 N と z \in S_1 に対して，
\displaystyle \qquad \left| f(z) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n z^n \right| \leq C K^N N! |z|^N
が成り立つことをいう．

位数 1 である \hat{f} に漸近展開可能な f のなす集合を \mathcal{A}_1 (S) と表す．

簡単に意味を説明すると，漸近展開可能であるとは，形式ベキ級数を有限項で打ち切るとそれは関数になるが，それとの差が（打ち切った次数以上の位数の）多項式で抑えられることを意味する．ただし，この誤差の項の係数の N に関する依存性に制限を設けている．

ここで， f\in \mathcal{A}_1 (S) に対して，ある形式ベキ級数 \hat{f} \in \mathbb{C} [ [z ] ] が定まるのでそれを Jf と表すことにする．このときの Jf の性質を考えてみよう．

Jf (z) = \sum_{n =0}^{\infty} a_n z^n としたとき，
\displaystyle \qquad |a_N| = |a_N z^N| \cdot \frac{1}{|z|^N}
\displaystyle \qquad \qquad= \left|\sum_{n=0}^N a_n z^n - \sum_{n=0}^{N-1} a_n z^n \right| \cdot \frac{1}{|z|^N}
\displaystyle \qquad \qquad \leq \left|f(z) - \sum_{n=0}^N a_n z^N \right| \cdot \frac{1}{|z|^N} + \left| f(z) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n z^n \right| \cdot \frac{1}{|z|^N}
\displaystyle \qquad \qquad = C K^{N+1} (N+1)! |z| + C K^N N!

よって，十分原点に近い z を考えることで，
\displaystyle \qquad |a_N| \leq C K^N N!
が成り立つことが分かる．このような級数に名前をつけておこう．

（定義）
形式ベキ級数 \hat{f} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n がジュブレー位数 1 であるとは，
定数 C,K>0 が存在して，
\displaystyle \qquad |a_N| \leq C K^N N!
が成り立つことをいう．
ジュブレー位数 1 の形式ベキ級数のなす集合を \mathbb{C} [ [ z ] ]_1 と表す．

以上の考察により，漸近展開可能な関数からジュブレー位数 1 の形式ベキ級数への関数 J \colon \mathcal{A}_1 (S) \to \mathbb{C} [ [z ] ]_1 が定まったことになる．

証明は省略するが，この写像 J には様々な綺麗な定理が成り立つのでそれを紹介する．まずはRittの定理と呼ばれるもののジュブレー位数 1 のときのバージョン．

（定理）

角領域の角度が \pi 以下ならば， J \colon \mathcal{A}_1 (S) \to \mathbb{C} [ [z ] ]_1 は全射である．つまり，ジュブレー位数 1 の形式ベキ級数 \hat{f} に対して， S で解析的な関数 f が存在し， f は \hat{f} に位数 1 で漸近展開可能である．

この定理の証明には，形式ボレル変換とラプラス変換を用いる．ただし，本記事ではラプラス変換の積分路を \arg z = 0 に沿ったものにしていたがそれを変更する必要があり，また，有限の点までの積分に修正する必要がある．

元のモチベーションに戻ると，この定理は角領域をある程度小さくすることで（ジュブレー位数 1 の）形式ベキ級数はそれと漸近的に近いある解析関数を必ず得ることを主張している．しかし，残念ながら一意性は必ず成り立たない．なぜなら， e^{-z} が S (-\pi, \pi) において（形式ベキ級数の） 0 \in \mathbb{C} [ [z ] ]_1 に漸近展開可能なので，この分の誤差をいつでも入れることができるからである．

一意性を得るためには角領域を大きくする必要がある．

（定理）

角領域 S の角度が \pi より大きいならば， J \colon \mathcal{A}_1 (S) \to \mathbb{C} [ [z ] ]_1 は単射である．つまり，任意のジュブレー位数 1 の形式ベキ級数 \hat{f} に対して， \hat{f} に位数 1 で漸近展開可能な関数 f\in \mathcal{A}_1 (S) は一意である．

証明にはやはりBorel変換とLaplace変換を用いる．

ジュブレー位数 1 の形式ベキ級数 \hat{f} は小さな角領域では漸近的に等しい解析関数を持つ．角領域を大きくすることで，この関数が一意である，つまり，形式ベキ級数に対し，関数が一つになる条件を考えたい．実はこれは簡単で，まず，\hat{f} をボレル変換し \mathcal{B}(\hat{f}) が（ある方向に）Laplace変換できることが必要である．さらに，少し積分路の角度を少しを変えてもラプラス変換が可能なら，それは大きな角領域で漸近展開可能な解析関数を得たことになる．つまり，一意に関数が定まる．

最後に，以上のことを具体例で見ていこう．

オイラー級数

オイラー級数
\displaystyle \qquad \hat{\phi} (z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n n! z^n = 1 - z + 2 z^2 - 6 z^3 + \dots
を考えよう．これは明らかに発散級数である．これを形式ボレル変換すると，
\displaystyle \qquad \hat{\mathcal{B}} (\hat{\phi}) (s) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n s^n = \frac{1}{s+1}
となり， s = -1 に特異点を持つ簡単な有理関数になる．これはラプラス変換可能なので実行すると，
\displaystyle \qquad \phi(z) := \mathcal{L} (\hat{\mathcal{B}}(\hat{\phi})) (z) = z^{-1} \int_0^{\infty} \frac{e^{-z/s}}{s+1} ds
と \hat{\phi} を漸近展開に持つ関数 \phi を得る． \phi は積分が計算できず初等関数で書くことができない．
ラプラス変換の積分路は \arg s = 0 としたが，特異点は s = -1 なので \arg s = -1 を除く任意の方向にラプラス変換できる．よって，この漸近展開は広い角領域で成り立つ．つまり， \hat{\phi} は \phi に一意に漸近展開可能である．

さて，この意味で形式ベキ級数 \hat{\phi} に対して関数 \phi が一意に定まるが，これに z = 1 を代入することで
\qquad 1 - 1 + 2 - 6 + \dots + (-1)^n n! + \dots
は
\displaystyle \qquad \int_0^{\infty} \frac{e^{-s}}{s+1} ds = 0.59634732...
に等しいと書いてあることがある．もちろんナイーブには正しくないが，ある意味でこの発散級数にこの数字を対応させるのにはある程度の正当性がある．

参考文献

基本的には
Balser, "From Divergent Power Series to Analytic Functions"
を参考にした．
複素領域の常微分方程式を扱った本にはほぼ必ず漸近展開を書いている．
他には
Sauzin, "Introduction to 1-summability and resurgence"
が分かりやすく最新の結果も書かれていてオススメである．（arXivにもある．）

*1:この \mathcal{L} をラプラス変換というのが嫌ならば， \hat{\mathcal{B}} の方を変更する流儀もある

フィルターの収束の意味

以前、位相空間におけるフィルターの収束やそれを一般化した収束空間についていくつかの記事を書きました．フィルターの収束は位相空間論で非常に便利な道具ですが，そのイメージが湧きにくいことから，フィルターを使った議論を毛嫌いする人が多いと感じます．そこで，今回はフィルターの収束が非常に直感的で簡単であることを説明します．

フィルターの収束は集合の収束

実数直線 \mathbb{R} を考えましょう． \mathbb{R} の部分集合の集まりがある点に収束するとはどういうことかを考えます．

例として，部分集合の集まり \mathcal{B} = \{ [ -1/n, 1/n ] \mid n \in \mathbb{N} \} を考えましょう．これはなんとなく 0 に収束していると見ることが出来そうです．その定式化は色々あるかもしれませんが，ひとまず次のように定義するといいでしょう．

定義１（集合族の収束）

位相空間 X とその部分集合の族 \mathcal{B} に対して， \mathcal{B} が a \in X に収束するとは，
a の任意の近傍 V \in \mathcal{V} (a) に対して，ある集合 A \in \mathcal{B} が存在して， A \subset V が成り立つことを言う．

イプシロン-デルタ論法の類似なので，イメージしやすいと思います．

さて，数列には点の順番がありますが，集合族には集合間に順番はありません．なので，単に一般に集合族を考えても数列と同じ意味合いを持たせることができません．そこで，以下の性質を満たす集合族を考えます:
\quad A, B \in \mathcal{B} ならば A\cap B \in \mathcal{B}
つまり，集合族から二つの集合をとってきたとき，その二つより小さいものも集合族に入っているということです．数列のように一列になっているわけではありませんが，二つの集合をとってきたときそれより小さいものをとることができると言う意味で，小さい集合を生成していけると言うイメージで順番が定まっている感じです．このような集合族をフィルター基と言います．

定義２（フィルター基）

集合 X のその集合族 \mathcal{B} がフィルター基であるとは，
\quad A, B \in \mathcal{B} ならば A\cap B \in \mathcal{B}
が成り立つことを言う．

さて，集合族の収束はその定義を見れば分かるように小さい集合のみが本質的です．なので，大きい集合を加えても収束は変わらないことが分かります．

例えば， \mathcal{B} = \{ [ -1/n, 1/n ] \mid n \in \mathbb{N} \} に [-2, 2] を加えて， \mathcal{B}' = \mathcal{B} \cup [-2.2] を考えても， \mathcal{B} も \mathcal{B}' も 0 のみに収束します．

そこで，加えても問題ない集合を全部加えてしまう操作を考えます．

定義３（生成されたフィルター）

集合 X とその集合族 \mathcal{B} に対して，
\quad [ \mathcal{B} ] := \{ B \in \mathcal{B} \mid A \subset B となる A \in \mathcal{B} が存在する ]
と定める．特に， \mathcal{B} がフィルター基のとき， [ \mathcal{B} ] を \mathcal{B} で生成されたフィルターという．

命題４

位相空間 X とその集合族 \mathcal{B} に対して， \mathcal{B} が a に収束することと [\mathcal{B} ] が a に収束することが同値．

フィルター基で生成されたフィルターはいくつかの性質を満たすことと同値であり，それを満たす集合族をフィルターと言います．

定義５（フィルター）

集合 X の集合族 \mathcal{F} が フィルターであるとは，以下を満たすことを言う:

(a) A \in \mathcal{F} かつ A \subset B ならば B \in \mathcal{F};
(b) A, B \in \mathcal{F} ならば A \cap B \in \mathcal{F}．

近傍系 \mathcal{V} (a) もフィルターです．わざわざフィルターを導入した理由は以下の性質が成り立つからです．

命題６

位相空間 X とフィルター \mathcal{F} に対して， \mathcal{F} が a に収束することと \mathcal{V} (a) \subset \mathcal{F} が同値．特に，フィルター基 \mathcal{B} が a に収束することと \mathcal{V} (a) \subset [ \mathcal{B} ] が同値．

このように，収束が単に包含関係で表せることは，様々な議論を簡潔で明快なものとしてくれます．

位相空間における収束空間の役割

距離空間では様々な事実を数列で表すことが出来るのでした．

命題７

距離空間 X に対して以下が成り立つ:

(a) 部分集合 A が閉集合であることは， A上の数列 \{a_n \} が a \in X に収束するなら a \in A となることと同値;

(b) 部分集合 A が開集合であることは，任意の a \in A に対して数列 \{a_n \} が a \in A に収束するならある N が存在して n \geq N に対して a_n \in A となることと同値;

これは一般の位相空間では成り立つとは限りません．しかしフィルターを使えば類似の性質で表現することができます．

命題８

位相空間 X に対して以下が成り立つ:

(a) 部分集合 A が閉集合であることは，フィルター \mathcal{F} で A \in \mathcal{F} となるものが a \in X に収束するなら a \in A となることと同値;

(b) 部分集合 A が開集合であることは，任意の a \in A に対してフィルター \mathcal{F} が a \in A に収束するならある A \in \mathcal{F} となることと同値;

このように，フィルターを使えば，距離空間でできたことを位相空間でも同様に議論することができます．詳しくは以下の記事を見てください．

tetobourbaki.hatenablog.com

数列とフィルターの違い

数列の代わりとしてフィルターを導入しましたが，数列とフィルターはかなり違うものです．

よく言われる違いの一つとしては，数列は可算性に基づいていることです．数列とは自然数を定義域とする写像と見ることができます．そのため，数列で定義できる概念は可算性が密接に関係します．位相空間論を勉強していると，位相空間における閉集合やコンパクト性が数列で定義できるための条件として可算条件が必要となりますが，それは自然なことです．フィルターはその可算条件とは関係なく一般的に閉集合やコンパクト性を特徴付けることができる利点があり，それが数列との大きな違いです．

もう一つの違いとして，これは個人的に感じていることでありまだ正確に言語化できないのですが，数列の収束とフィルターの収束では"どのような順序概念に基づいて収束するか"が本質的に違うということが挙げられます．これはいくつかの結果から感じることなのですが，その一例として部分列の概念をあげましょう．

数列 \{a_n \} の部分列 \{b_n \} とは，狭義単調増加列 i \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} が存在して， b_n = a_{i(n)} と書けることでした．そのフィルターでの類似は単に自分より細かいフィルターです: つまり，フィルター \mathcal{G} がフィルター \mathcal{F} の部分フィルターであるとは ， \mathcal{F} \subset \mathcal{G} となることです．直感的には"部分列をとる"操作をフィルターで言い換えると"より細かいフィルターをとる"ことと言い換えることができます．すると，様々な点で数列で言えたこととフィルターで言えることに対応が付きます．対応がつくという意味ではこれでいいのですが，フィルターには数列と同じように自然数上の順序に基づいたものではないので，微妙に順序の情報が落ちてしまいます．部分フィルターの概念を数列で再び言い換えるなら，"数列 \{a_n \} の部分列 \{b_n \} とは，広義単調増加列 i \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} が存在して， b_n = a_{i(n)} と書ける"という定義と整合性があります．集合の集積点と数列の集積点が微妙に違うのもフィルターと数列のこのような差と関係したものだと考えています．

よって，可算性だけで数列とフィルターが一致するわけではありません．また，フィルターは数列の一般化というわけではなく微妙に違うものです．現状の僕の理解をまとめると以下のようになります．

  • フィルターの収束と数列の収束は全く別の概念である
  • 位相空間ではフィルターの収束で様々な概念を定義したり議論したりすることができる．
  • 距離空間では"たまたま"数列の収束でも概念を定義したり議論したりすることができる．

位相性と正則性

位相空間を一般化した収束空間はもちろん位相空間とは限りません．では，位相的であるという性質は何を意味するのでしょうか．実は，正則性の条件の類似であることが知られています．今回はこのことを紹介します．この記事では基本的に以下の記事の知識を仮定します．
tetobourbaki.hatenablog.com

収束空間と位相性（復習）

まず，収束空間の定義を復習する．

定義１（収束空間）

集合 X が収束空間であるとは，各点 x \in X に対して、フィルターの集合 \lambda (x) が定まっており以下が成り立つことをいう:

(i) 任意の x \in X に対して， \langle x \rangle \in \lambda (x) が成り立つ．

(ii) フィルター \mathcal{F} \in \lambda (x) ， \mathcal{F} \subset \mathcal{G} が成り立つなら \mathcal{G} \in \lambda (x) が成り立つ;

(iii) フィルター \mathcal{F}, \mathcal{G} が \mathcal{F}, \mathcal{G} \in \lambda (x) ならば，フィルター \mathcal{F} \cap \mathcal{G} \in \lambda (x) が成り立つ．

\mathcal{F} \in \lambda (x) のとき， \mathcal{F} は x に収束するといい \mathcal{F} \to x と表す．

（注意）以下の議論では(iii)を弱めた

\quad (iii) ^\prime フィルター \mathcal{F} が \mathcal{F} \in \lambda (x) ならば，フィルター \mathcal{F} \cap \langle x \rangle \in \lambda (x) が成り立つ．

でも十分である．

以下で重要になる近傍フィルター，閉包作用素，開核作用素を確認する．
近傍フィルター

\quad \mathcal{V} (x) := \{ A \subset X \mid \mathcal{F} \to x ならば A \in \mathcal{F} \}

閉包作用素

\quad \mathrm{Cl} (A) := \{ x \in X \mid \mathcal{F} で \mathcal{F} \to x かつ A \in \mathcal{F} となるものが存在する \}

開核作用素
\quad \mathrm{I} (A) := \{ x \in X \mid \mathcal{F} \to x ならば A \in \mathcal{F} \}

ちなみに，

\quad \mathcal{V} (x) = \{ A \subset X \mid x \in \mathrm{I} (A) \}

と書けることは重要である．

次に，収束空間が位相的であるための条件を確認しよう．

命題２（位相空間）

収束空間が位相的であるためには以下の二つの条件が成り立つことである:

(i) 前位相的である，つまり，近傍フィルター \mathcal{V} (x) は x に収束する．

(ii) 任意の x と A \in \mathcal{V} (x) に対して，ある B \in \mathcal{V} (x) が存在して全ての y \in B で A \in \mathcal{V} (y) が成り立つ．

正則空間

これまでの記事では分離公理について触れてこなかった．収束空間で正則性を定義するには閉包を用いる．

補題３
フィルター \mathcal{F} に対して，
\quad \mathrm{Cl} (\mathcal{F}) := \{ \mathrm{Cl} (A) \subset X \mid A \in \mathcal{F} \}
とすると， \mathrm{Cl} (\mathcal{F}) はフィルター基である．これをフィルター \mathcal{F} の閉包と呼ぶ．

簡単なので証明は省略する．一般に， \langle \mathrm{Cl} (\mathcal{F} ) \rangle \subset \mathcal{F} なので，フィルターの閉包を取ると粗くなる．正則性とは，収束するフィルターの閉包をとって粗くしても，やはり収束するということである．


定義４（正則）

位相空間 X が正則であるとは，全てのフィルター \mathcal{F} に対して \mathcal{F} \to x ならば \mathrm{Cl} ( \mathcal{F} ) \to x となることである．

さて，正則性は位相空間においてよく知られた定義と一致することが知られている．その他にもほとんど普通に想像する正則性と一致することが知られているがこの記事では省略する．

位相性と正則性の対比

さて，位相的であることを正則の定義に類似した形で与えよう．そのために，天下り的であるがフィルターの閉包から着想を得た以下の作用素を考えよう．

定義５（近傍化フィルター）

フィルター \mathcal{F} に対して，
\quad \mathrm{V} (\mathcal{F} ) := \{ A \subset X \mid \mathrm{I} (A) \in \mathcal{F} \}
を フィルター \mathcal{F} の近傍化フィルターと呼ぶ*1．

近傍化フィルターが実際にフィルターであることや \mathrm{V} (\mathcal{F}) \subset \mathcal{F} が成り立つのことはすぐに分かる．これを用いると，正則性と全く同様の形式で位相性を特徴付けることができる．

主定理６

収束空間 X に対して， X が位相的であることと，全てのフィルター \mathcal{F} に対して \mathcal{F} \to x ならば \mathrm{V} (\mathcal{F} ) \to x が成り立つことは同値．

主定理を証明するために，いくつかの性質を見ていく．唐突に出てきた近傍化フィルターではあるが，これを用いればいろんな性質を表すことができる．

補題７
収束空間において， \mathrm{V} (\langle x \rangle) = \mathcal{V} (x) である．

証明． A \in \mathrm{V} ( \langle x \rangle ) \Leftrightarrow \mathrm{I} (A) \in \langle x \rangle \Leftrightarrow x \in \mathrm{I} (A) \Leftrightarrow A \in \mathcal{V} (x) \quad \square

この補題が，近傍化フィルターという用語の由来である．

次に，近傍の開核が近傍であるという位相空間の性質に注目しよう．これは， A \in \mathcal{V} (x) ならば， \mathrm{I} (A) \in \mathcal{V} (x) ということであるが，これは以下のように近傍化フィルターを用いて書き換えることができる．

補題８
収束空間において以下の性質は同値:

(i) A \in \mathcal{V} (x) ならば， \mathrm{I} (A) \in \mathcal{V} (x) ;

(ii) \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) = \mathcal{V} (x)．

証明．一般に \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) \subset \mathcal{V} (x) は成り立つので，(ii) は \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) \supset \mathcal{V} (x) である．同値性の証明は定義通りの言い換えであるので機械的に示せる． \square

上の二つの補題が近傍化フィルターの役割を表している．さらに，上の事実で位相的であることを特徴付けることはほとんど終わっている．まず，前位相的であることは \mathcal{V} (x) \to x であるが，これは \mathrm{V} (\langle x \rangle) \to x である．最後に次の単純な結果がギャップを完全に埋める．

補題９

収束空間において，補題８の(ii) \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) = \mathcal{V} (x) が成り立つならば，命題２の(ii) が成り立つ．

（証明）任意の A \in \mathrm{V} (x) をとると，仮定により \mathrm{I} (A) \in \mathrm{V} (x) である．そこで， W = \mathrm{I} (A) とすると， y \in W に対して， y \in \mathrm{I} (A) なので A \in \mathcal{V} (y) である．よって命題２の(ii)が成り立つことが分かった． \square

補題 １０
収束空間 X において以下は同値:

(i) X は位相的;

(ii) \mathrm{V} (\langle x \rangle ) \to x かつ \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) = \mathcal{V} (x);

(iii) \mathcal{F} \to x ならば \mathrm{V} (\mathcal{F} ) \to x．

（証明）
(i) \rightarrow (ii)について．位相的なら前位相的なので \mathrm{V} (\langle x \rangle ) = \mathcal{V} (x) \to x．また，位相空間において補題８の条件が成り立つことは知られているので \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) = \mathcal{V} (x) が成り立つ．

(ii) \rightarrow (i)について． \mathcal{V} (x) = \mathrm{V} (\langle x \rangle ) \to x なので前位相的．補題９より命題２の(ii)が成立するので，命題２により， X は位相空間．

(ii) \rightarrow (iii)について． \mathcal{V} (x) = \mathrm{V} (\langle x \rangle ) \to x なので前位相的である． \mathrm{F} \to x とすると \mathcal{V} (x) \subset \mathcal{F} なので \mathrm{I} (\mathcal{V} (x)) \subset \mathrm{I}(\mathcal{F}) である． \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) = \mathcal{V} (x) なので， \mathcal{V} (x) \subset \mathrm{I} (\mathcal{F}) となり \mathrm{V}(\mathcal{F}) \to x である．

(iii) \rightarrow (ii)について．収束空間の定義から， \langle x \rangle \to x なので， \mathrm{V} (\langle x \rangle ) \to x である．また，これから \mathcal{V} (x) = \mathrm{V} (\langle x \rangle ) \to x なので前位相的であり \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) \to x となるので， \mathrm{V} (\mathcal{V} (x)) \supset \mathcal{V} (x) となる． \square

この補題により主定理が示せた．

まとめと参考文献

今回の記事で位相的であることと正則であることが同じ形式で特徴付けることができると分かった．一般的には"Compression operator"と呼ばれるものを用いた"diagonal"性により位相的であることと正則であることを関連づけることが多い．歴史的にはこの方法が先であるものの，そういうやり方はちょっと複雑なので今回の記事では

Scott, Wilde and Kent, "p-Topological and p-regular: dual notions in convergent theory"

の方法を参考にした．例えば，

Brock and Kent,"Probabilistic convergence spaces and regularity"

では，収束空間，正則収束空間，位相空間のなす圏をそれぞれCONV，RCONV，TOPとしたとき

It is well known that both RCONV and TOP are bireflective subcategories of CONV, since the properties "regular" and "topological" are both preserved under formulation of initial structures.

であると述べている．これが最も興味のあるところなのであるが，残念ながら圏論が苦手なこともありまだ理解するには至ってない．

*1:原論文に忠実になるなら，「フィルターの近傍フィルター」と呼ぶべきではあるが，近傍フィルターとややこしいので近傍"化"フィルターと呼ぶことにする．

収束空間について

位相空間をフィルターを使って論じたブログに反響がありました．特に，位相空間を一般化した前位相空間について知りたいという声がありました．位相空間が一般化できるとは思いもしなかった人がかなりいるのではないかと思います．

tetobourbaki.hatenablog.com

この記事では，フィルターの収束が定義されている収束空間まで位相空間を一般化します．いきなり一般的な定義を紹介してもしっくりこないと思うので，

\qquad 位相空間→前位相空間→ショケ空間→収束空間

の順に少しずつ一般化していきます．収束空間を使うと説明がしやすいので，具体例は収束空間を導入した後に述べます．単なる一般化ではなく，収束空間の概念をベースにして位相的な性質を議論すると分かりやすいと感じていただければ嬉しいです．

位相空間

まず，位相空間とフィルターについて，この記事の前提知識を復習しておく．（前のブログを読んだ方やフィルターで位相空間を論じることに詳しい方は次節から読むと良い．）

定義１（位相空間）

集合 X が位相空間であるとは，各点 x \in X に対して、X の部分集合からなる空でない集合族 \mathbf{V} (x)が存在して以下が成り立つことをいう:

(i) すべての V \in \mathbf{V} (x) に対して， x \in V;

(ii) V \in \mathbf{V} (x) かつ V \subset W ならば W \in \mathbf{V} (x);

(iii) V, W \in \mathbf{V} (x) ならば V \cap W \in \mathbf{V} (x);

(iv) すべての V \in \mathbf{V} (x) に対して、ある W \in \mathbf{V} (x) が存在して、すべての y \in W に対して V \in \mathbf{V} (y)．

\mathbf{V} (x) を x の近傍系という．

定義２（フィルター）

集合 X に対して， Xの部分集合からなる空でない集合族 \mathcal{F} がフィルターであるとは，以下が成り立つことをいう:

(i) \emptyset \notin \mathcal{F}

(ii) V \in \mathcal{F} かつ V \subset W ならば W \in \mathcal{F};

(iii) V, W \in \mathcal{F} ならば V \cap W \in \mathcal{F}．

二つのフィルター \mathcal{F}, \mathcal{G} に対して， \mathcal{F} \subset \mathcal{G} が成り立つとき， \mathcal{F} は \mathcal{G} よりも粗い，または， \mathcal{G} は \mathcal{F} よりも細かいなどという．

フィルター \mathcal{F} が極大フィルターであるとは，フィルター \mathcal{G} に対して， \mathcal{F} \subset \mathcal{G} ならば \mathcal{F} = \mathcal{G} が成り立つことを言う．

定義３（フィルターの収束）

位相空間 X におけるフィルター \mathcal{F} が点 x \in X に収束するとは， xの近傍系 \mathbf{V} (x) よりも \mathcal{F} が細かいこと，つまり， \mathbf{V} (x) \subset \mathcal{F} が成り立つことをいう．
\mathcal{F} が x\in X に収束するとき，x は \mathcal{F} の 極限点という．

定義４（フィルター基）

集合 X に対して， Xの部分集合からなる空でない集合族 \mathcal{B} がフィルター基であるとは，以下が成り立つことをいう:

(i) \emptyset \notin \mathcal{B}

(ii) V, W \in \mathcal{B} ならば，ある U \in \mathcal{B}が存在して U \subset V \cap W．

フィルター \langle \mathcal{B} \rangle := \{ V \subset X \mid ある W \in \mathcal{B} が存在して W \subset V\} を \mathcal{B} で生成されるフィルターと呼ぶ．

\mathcal{B} で生成されるフィルター \langle \mathcal{B} \rangle が x\in X に収束するとき，フィルター基 \mathcal{B} が x に収束すると言う．

定義５（連続関数）

位相空間 X, Y と関数 f \colon X \to Y に対して， f が x \in X で連続であるとは， x に収束する X における全てのフィルター \mathcal{F} に対して，フィルター基 f(\mathcal{F}) が f(x) に収束することである．

定義６（コンパクト）

位相空間 X がコンパクト であるとは，任意の極大フィルターが極限点を持つことである．

定義７（ハウスドルフ）

位相空間 X がハウスドルフであるとは， X における任意のフィルターが高々1つしか極限点を持たないことをいう．
（つまり，フィルターが2つ以上の極限点を持たない空間がハウスドルフ空間である．）

以降，位相空間を一般化していくのであるが，上記の定義ではフィルターの収束のみを使っている．よって，フィルターの収束さえ定まっていれば，例えば連続写像やコンパクト性が同様に定義できる．以降，フィルターの収束を使って定義できる概念はフィルターの収束さえ定まれば同様に定義できるが，この記事ではフィルターの収束が定まっている空間のみを扱うので，一般化した空間でも同様に定義されていくものとして理解せよ．

前位相空間

位相空間を一般化する．特に，フィルターの収束さえ定まればいいので，近傍系の公理(iv)は必要ない．公理(iv)を要請しない空間を前位相空間と呼ぶ．

定義８（前位相空間）

集合 X が前位相空間（pretopological space）であるとは，各点 x \in X に対して、X の部分集合からなる空でない集合族 \mathbf{V} (x)が存在して以下が成り立つことをいう:

(i) すべての V \in \mathbf{V} (x) に対して， x \in V;

(ii) V \in \mathbf{V} (x) かつ V \subset W ならば W \in \mathbf{V} (x);

(iii) V, W \in \mathbf{V} (x) ならば V \cap W \in \mathbf{V} (x);

前位相空間 X におけるフィルター \mathcal{F} が x に収束するとは， \mathbf{V} (x) \subset \mathcal{F} が成り立つことをいう．
\mathbf{V} をフィルター場という．

前位相空間でも閉包や閉集合を考えたいが，それらの性質は位相空間と違ってくる．

定義９（擬閉包作用素）

集合 X に対して，部分集合から部分集合への関数 \mathrm{Cl} \colon 2^X \to 2^X が擬閉包作用素を
\displaystyle \quad \mathrm{Cl} (A) := \{ x\in X \mid あるフィルター \mathcal{F} が存在して， A \in \mathcal{F} かつ \mathcal{F} は x に収束する \}
と定める．

命題１０

前位相空間 X に対して，以下が成り立つ:

(i) \mathrm{Cl} (\emptyset ) = \emptyset;

(ii) 任意の部分集合 A \subset X に対して，A \subset \mathrm{Cl} (A);

(iii) 任意の部分集合 A, B \subset X に対して，\mathrm{Cl}(A \cup B) = \mathrm{Cl} (A) \cup \mathrm{Cl} (B);

（注意．この命題は前位相空間を一般化しても成り立つ．）

ここで，位相空間とは違い \mathrm{Cl} (\mathrm{Cl} (A) ) = \mathrm{Cl} (A) が成り立つとは限らない．しかし，閉集合はなぜかうまく定義できる．

定義１１（開集合）

前位相空間 X の部分集合 A が閉集合であるとは， \mathrm{Cl} (A) =A が成り立つことである．

命題１２

前位相空間 X に対して，閉集合のなす集合を \mathfrak{U} と表す．このとき，以下が成り立つ:

(i) \emptyset \in \mathfrak{U} かつ X \in \mathfrak{U};

(ii) A, B \in \mathfrak{U} ならば A \cup B \in \mathfrak{U};

(iii) A_{\lambda} \in \mathfrak{U} ならば \bigcap_{\lambda} A_{\lambda} \in \mathfrak{U}．

この事実を私は以下のように捉えている．前位相空間でも閉集合は定義できる．位相空間と同じように考えるには， \mathrm{Cl} (A) が閉集合であってほしい．しかし，上で述べたように \mathrm{Cl} (\mathrm{Cl} (A) ) = \mathrm {Cl} (A) とは限らず，つまり， \mathrm{Cl} (A) が閉集合とは限らない．つまり，前位相空間は位相空間よりも閉集合が少ない空間である．

（擬）開核作用素や開集合は補集合をとることで，（擬）閉包作用素や閉集合から定義できる．ここは位相空間とまったく同じである．だから，前位相空間は開集合が少ない空間であると考えても良い．

このような観点に立つと，前位相空間の以下の事実も納得がいく．

命題１３

前位相空間 X, Y において，写像 f \colon X \to Y が連続ならば，開集合 A \subset Y の引き戻し f^{-1} (A) \subset X は開集合である．

逆が成り立つとは限らない．

Proof． 閉集合 B \subset Y の引き戻し f^{-1} (B) \subset X が閉であることを示せば良い．つまり， \mathrm{Cl} ( f^{-1} ( B) ) = f^{-1} (B) を示せばよい． \mathrm{Cl} ( f^{-1} ( B) ) \supset f^{-1} (B) は擬閉包の性質から分かっているので， \mathrm{Cl} ( f^{-1} ( B) ) \subset f^{-1} (B) を示す． x \in \mathrm{Cl} (f^{-1} (B) ) とすると， X におけるフィルター \mathcal{F} で f^{-1} (B) \in \mathcal{F} かつ \mathcal{F} が x に収束するものが存在する． f が連続なので， < f(\mathrm{F} ) > は f(x) に収束する．また， f (f^{-1} (B)) \in f(\mathcal{F} ) かつ f (f^{-1} (B) ) \subset B より B \in \langle f (\mathcal{F} ) \rangle である．以上より， f(x) \in \mathrm{Cl} (B) であるが B が閉集合だったので f(x) \in B である．よって x \in f^{-1} (B) となり証明が終わる．

逆が成り立たないことは最後に例でみる． \square

つまり，位相空間では開集合の引き戻しが開集合であることで連続性を定義するが，前位相空間では開集合が少ないので開集合を見ただけでは全ての点で連続かどうかが分からないのである．逆に言えば，開集合で連続性が定義できることこそ位相空間のよさだとも言える．前のブログでコンパクトからハウスドルフへの連続全単射が同相写像であることを見たが，その証明で開集合による連続性の特徴付けを用いているため，一般の収束空間ではこの定理は成り立たない．

さて，前位相空間はフィルター場という基準を与えることでフィルターの収束を定めていた．単にフィルターの収束を与えるだけで空間を定義し一般化したいので，収束の性質をまとめてみる．

命題１４

前位相空間において，フィルター \mathcal{F} が x に収束することと， \mathcal{F} より細かい全ての極大フィルターが x に収束することが同値．

Proof．任意のフィルターは極大イフィルターの共通部分として書けることが知られている．つまり
\displaystyle \qquad \mathcal{F} = \bigcap \{ \mathcal{G} \mid \mathcal{G} は極大フィルターで \mathcal {F} \subset \mathcal{G} \}
が成り立つ．これと， \mathbf{V} (x) \subset \mathcal {F} が \mathcal{F} が x に収束することであったことからすぐにわかる． \square

この命題により，前位相空間において，フィルターの収束は極大フィルターの収束で決まってしまうことが分かる．

次に，極大フィルターの中でも唯一具体的に書ける主極大フィルターを導入する．

定義１５（主極大フィルター）

集合 X と元 x \in X に対して，フィルター
\displaystyle \qquad \mathcal{F} := \{ A \subset X \mid x \in A \}
は極大フィルターである．これは \langle \{x \} \rangle でもある．この極大フィルターを x の主極大フィルター と呼び， \langle x \rangle で表す．

前位相空間の定義において，フィルター場の公理 (i) は x の主極大フィルター \langle x \rangle が x に収束することを表している．

以上を踏まえれば，前位相空間を一般化できる．

ショケ空間

定義１６（ショケ空間）

集合 X がショケ空間（Choquet space）であるとは，各点 x \in X に対して、極大フィルターの集合 \mu (x) が定まっており以下が成り立つことをいう:

(i) 任意の x \in X に対して， \langle x \rangle \in \mu (x) が成り立つ．

極大フィルター \mathcal{F} が \mathcal{F} \in \mu (x) を満たすとき，極大フィルター \mathcal{F} が x に収束するという．

ショケ空間においてフィルター \mathcal{F} が x \in X に収束するとは， \mathcal{F} より細かい全ての極大フィルターが x に収束することとする．

（注意．ショケ空間は擬位相空間（psudotopological space）と呼ばれることも多い．）

つまり，ショケ空間とは極大フィルターの収束を定めたものである．前節で述べたように，極大フィルターの収束さえ定めれば全てのフィルターの収束を定めることができる．

ショケ空間でも位相空間における近傍系や前位相空間におけるフィルター場のようなものを定めよう．

定義１７（近傍フィルター）

ショケ空間 X とその元 x \in X において
\displaystyle \qquad \mathbf{V} (x) := \{ A \subset X \mid x に収束する全てのフィルター \mathcal{F} が A を含む \}
と定める． \mathbf{V} (x) を x における近傍フィルターと呼ぶ．

前位相空間ではフィルター場により収束が定まったが，ショケ空間ではフィルターの収束が近傍フィルターで定まらない．

命題１８

ショケ空間において，フィルター \mathbf{F} が x に収束するなら， \mathbf{V} (x) \subset \mathbf{F} が成り立つ．

逆が成り立つとは限らない．

証明は近傍フィルターの定義から明らか．

ショケ空間では \mathbf{V} (x) より細かいフィルターが x に収束するとは限らない．特に，近傍フィルター \mathbf{V} (x) 自体が x に収束するとは限らない．

さて，ショケ空間は極大フィルター収束により，全てのフィルターの収束を定めた．そうではなく，フィルターの収束を一気に定義したい．そのために，ショケ空間のフィルターの収束の性質を調べ，それによりフィルターの収束を公理化しよう．

命題１９

ショケ空間 X において以下が成り立つ:

(a) フィルター \mathcal{F} が x に収束し， \mathcal{F} \subset \mathcal{G} が成り立つなら \mathcal{G} も x に収束する;

(b) フィルター \mathcal{F}, \mathcal{G} が x \in X に収束するなら，フィルター \mathcal{F} \cap \mathcal{G} も x に収束する．

Proof．（a）は明らか． \mathcal{F} \cap \mathcal{G} より細かい極大フィルターは， \mathcal{F}, \mathcal{G} よりも細かいので，(b) が分かる． \square

命題 (a) はこれまでも使っていたように，収束するものより細かいフィルターはやはり収束する．命題 (b) は収束する二つのフィルターより粗いものの中でもっとも細かいものが収束することを意味する。

収束空間

定義２０（収束空間）

集合 X が収束空間であるとは，各点 x \in X に対して、フィルターの集合 \lambda (x) が定まっており以下が成り立つことをいう:

(i) 任意の x \in X に対して， \langle x \rangle \in \lambda (x) が成り立つ．

(ii) フィルター \mathcal{F} \in \lambda (x) ， \mathcal{F} \subset \mathcal{G} が成り立つなら \mathcal{G} \in \lambda (x) が成り立つ;

(iii) フィルター \mathcal{F}, \mathcal{G} が \mathcal{F}, \mathcal{G} \in \lambda (x) ならば，フィルター \mathcal{F} \cap \mathcal{G} \in \lambda (x) が成り立つ．

（注意．論文によってはこの空間を極限空間（limit space）と呼び，(iii)の条件をもう少し一般化したものを収束空間と呼んでいる．）

収束空間はショケ空間とは違い，極大フィルターの収束で全てのフィルターの収束が決まっているわけではない．コンパクト性は極大フィルターで定義されているので，ショケ空間でなければ成り立たない結果がいくつかある．

収束空間のまとめ

定義２１

X を収束空間とする．

(a) X がショケ空間から定まる収束空間のとき， X はショケ的であるという．
(b) X が前位相空間から定まる収束空間のとき， X は前位相的であるという．
(c) X が位相空間から定まる収束空間のとき， X は位相的であるという．

さらに，以下のことが簡単に分かる．

命題２２

X を収束空間とする．

(a) X がショケ的であることと，フィルター \mathcal{F} より細かい任意の極大フィルターが x \in X に収束するなら \mathcal{F} も x に収束することが同値．

(b) X が前位相的であることと，近傍フィルター \mathbf{V} (x) が x に収束することが同値．

(c) X が位相的であることと，前位相的かつ任意の A \subset X に対して \mathrm{Cl} ( \mathrm{Cl} (A) ) = \mathrm{Cl} (A) が成り立つことが同値．

例

最後に，例を挙げる．自然な例を挙げるというよりは，本当に一般化した空間に入る例があることを確認することが目的である．

前位相的だが位相的でない例

実数体 \mathbb{R} に普通の位相を入れた収束構造を \lambda とする．一方，収束構造 \nu を
x \neq 0 に対しては， \nu(x) = \lambda (x) とし，
\displaystyle \qquad \mathcal{F} \in \nu (0) : \Leftrightarrow "\mathcal{F} \in \lambda (0) かつ，全ての A \in \mathcal{F} に対して A \cap \mathbb{Q} \neq \emptyset"

と定める．つまり，0以外への収束は通常の同じで ， x=0 に収束するには有理数体と交わり続けることも条件に加えたものが収束空間 (\mathbb{R}, \nu ) である．簡単のため，通常の収束構造を定めたものを単に \mathbb{R} とし， (\mathbb{R}, \nu) を \tilde{\mathbb{R} } と表す．

\tilde{\mathbb{R} } は前位相空間である: これを見るには，近傍フィルターとの包含関係によりフィルターの収束が定めることを見れば良い． x \neq 0 は見る必要がないので， \nu (0) のみを見れば良い． \mathcal{F} \in \nu (0) と \mathbf{V} (0) \subset \mathcal{F} が同値であることを見れば良いが， \mathbf{V} (0) \in \nu (0) を見れば十分である． A \in \mathbf{V} (0) は 0 に収束する全てのフィルターに含まれているので， A \cap \mathbb{Q} \neq \emptyset となる．また， \nu (0) \subset \lambda(0) より， \mathbf{V} (0) は普通の位相で収束する．よって， \mathbf{V} (0) \in \nu (0) である．以上により， \tilde{\mathbb{R} } は前位相空間である．

命題２３
\tilde{ \mathbb{R} } において，
\displaystyle \qquad \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}, \quad \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \{0 \} ) = \mathbb{R}
である．特に， \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ) は閉集合でない．

Proof．収束構造 \nu により， \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} を元にもつフィルターは 0 に収束しないので， 0 \notin \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} )．一方， x \neq 0 が閉包に入るかどうかは通常と同じなので， \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} である．

主極大フィルター \langle 0 \rangle を，この空間でも 0 に収束するように変形したフィルター
\qquad \mathcal{F} := ( \{A \setminus \{0 \} \mid 0 \in A\} \cup \{A \} ) \setminus \emptyset
は 0 に収束し， \mathrm{R} \setminus \{0 \} \in \mathcal{F} なので， 0 \in \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \{0 \} ) である．よって， \mathrm{Cl} (\mathbb{R} \setminus \{0 \} ) = \mathbb{R}． \square

ショケ空間だが前位相空間でない例

無限個の元を持つ集合を X とする． X の極大フィルターの収束を，主極大フィルターが（任意の） x \in X に収束し，主極大フィルター以外の極大フィルターは収束しないとして収束を定めたショケ空間を考える．まず， \mathbf{V} (p) = \{X \} であることが分かる．実際， A \in \mathbf{V} (p) で A \neq X となるものがあったとし q \notin A をとると，主極大フィルター \langle q \rangle は p に収束するが，近傍フィルターの定義より A \in \langle q \rangle となる．これは q \notin A に矛盾．つまり， \mathbf{V} (p) = \{X \} である．このとき， \mathcal{F} が x に収束することと， \mathcal{F} が \mathbf{V} (p) より細かいことが同値と仮定して矛盾を導く．ここで，フレシェフィルターと呼ばれるフィルター
\displaystyle \qquad \mathcal{N} := \{ A \subset X \mid X \setminus A が有限集合 \}
を考える． \mathcal{N} より細かい極大フィルターを \mathcal{G} とする． X が無限集合であることから \mathcal{G} は主極大フィルターではないことが分かる．一方， \mathcal{V} (p) \subset \mathcal{N} \subset \mathcal{G} となり．仮定から \mathcal{G} は収束する．主極大フィルターではないフィルターが収束することになり矛盾．よって，仮定が間違っていたことになり，前位相的ではないことが分かる．

この収束空間の閉集合を調べよう．一点集合 \{ p \} の閉包を考える． q \in X を取ったとき，主極大フィルター \langle p \rangle は \{p \} を元に持ち q に収束する．つまり任意の元が閉包に含まれるので， \mathrm{Cl} (\{p \}) = X となる．よって閉集合は \emptyset, X のみである．

さて，上と同じ X に全ての極大フィルターが全ての点に収束するとして収束を定めたショケ空間を \tilde{X} と表すことにする．すると，上と同様に \mathbf{V} (p) = \{ \tilde{X} \} であり，閉集合は \emptyset, \tilde{X} のみとなる． X とは違い任意のフィルターが任意の点に収束するとしているので，前位相的であり，もっと言うと密着位相が入った位相空間である．

さて， \mathrm{id}\colon \tilde{X} \to X を考える． \tilde{X}, X の閉集合は同じなので，開集合の引き戻しは開集合である．しかし， \tilde{X} のフィレシェフィルター \mathrm{N} は収束するが，その像 \mathrm{id} (\mathrm{N} ) は X で収束しない．よって， \mathrm{id} は連続でない．これは，開集合の引き戻しが開集合でも連続とは限らないことを意味する．これが命題１３の例を与えている．

収束空間だがショケ空間でない例
I := [0, 1] を通常の位相により定まる収束空間とし， \mathcal{F} \in \nu (x) を
普通の位相で 0 に収束する有限個の極大フィルター \mathcal{G}_1, \dots, \mathcal{G}_n が存在して， \mathcal{F} \supset \mathcal{G}_1 \cap \dots \cap \mathcal{G}_n と定める．

収束空間であることは分かる．極大フィルターの収束性は通常と変わらない．普通の位相での近傍フィルターを \mathbf{U} (x) をとる． \mathbf{U} (x) より細かい極大フィルターは普通の位相で x に収束するので \nu でも x に収束する．一方， \mathbf{U} (x) より細かい極大フィルターは無限個あるので， \nu で \mathbf{U} (x) は x に収束しない．よって，ショケ空間ではない．

位相空間論とフィルター

数学

位相空間論の性質を論じるにあたって，フィルターが非常に便利です．この記事では，フィルターの使い方を解説します．


最初の節では，フィルターやフィルターの収束を定義します．位相空間の基本的な用語をフィルターで言い換えていきます．

次の節では，コンパクト性やハウスドルフ性に関する性質を見ていきます．特に，コンパクト空間の直積空間がコンパクトであるというチコノフの定理を証明します．

この記事の議論を見れば，今回の話は位相空間である必要はなくて単にフィルターの収束が決まっていればいいのではないかと思われると思います．実際にその通りで，位相空間を一般化した収束空間というものがあります．収束空間は少し難しいので，最後の節では位相空間より少しだけ一般化した前位相空間について解説します．前位相空間を勉強すると，位相空間の公理の理解も深まります．

（以下，口調が変わります．）

フィルターの収束

X を位相空間とする．位相空間は開集合や閉包作用素などいろいろな定義の仕方があるが，今回は近傍系によって定義しよう．

定義１（位相空間）

集合 X が位相空間であるとは，各点 x \in X に対して、X の部分集合からなる空でない集合族 \mathbf{V} (x)が存在して以下が成り立つことをいう:

(i) すべての V \in \mathbf{V} (x) に対して， x \in V;

(ii) V \in \mathbf{V} (x) かつ V \subset W ならば W \in \mathbf{V} (x);

(iii) V, W \in \mathbf{V} (x) ならば V \cap W \in \mathbf{V} (x);

(iv) すべての V \in \mathbf{V} (x) に対して、ある W \in \mathbf{V} (x) が存在して、すべての y \in W に対して V \in \mathbf{V} (y)．

\mathbf{V} (x) を x の近傍系という．

位相空間の定義は(iv)の性質だけ少し難しい．実はこれには深い意味がある．そのことは前位相空間の節で明らかになる．まず，近傍系の定義を一般化したものとしてフィルターを定義する．

定義２（フィルター）

集合 X に対して， Xの部分集合からなる空でない集合族 \mathcal{F} がフィルターであるとは，以下が成り立つことをいう:

(i) \emptyset \notin \mathcal{F}

(ii) V \in \mathcal{F} かつ V \subset W ならば W \in \mathcal{F};

(iii) V, W \in \mathcal{F} ならば V \cap W \in \mathcal{F}．

二つのフィルター \mathcal{F}, \mathcal{G} に対して， \mathcal{F} \subset \mathcal{G} が成り立つとき， \mathcal{F} は \mathcal{G} よりも粗い，または， \mathcal{G} は \mathcal{F} よりも細かいなどという．

フィルターの性質(i)だけ近傍系の性質(i)と少し違うように見えるが，近傍系の性質(i)により空集合は \mathbf{V} (x) に含まれないので，近傍系はフィルターである．近傍系性質(iv)はどこに行ったのかと疑問に思うかもしれないが，(iv)は近傍系同士の関係を述べたものであるので，一点における近傍系の一般化としてフィルターを定義している．

さて，位相空間を論じるために必要なフィルターの収束を定義しよう．

定義３（フィルターの収束）

位相空間 X におけるフィルター \mathcal{F} が点 x \in X に収束するとは， xの近傍系 \mathbf{V} (x) よりも \mathcal{F} が細かいこと，つまり， \mathbf{V} (x) \subset \mathcal{F} が成り立つことをいう．
\mathcal{F} が x\in X に収束するとき，x は \mathcal{F} の 極限点という．

フィルターの収束により，位相空間を直感的に扱えるようになる．例えば，距離空間において，部分集合 A の閉包とは， A に値をとる点列の収束先を集めたものであった．これは位相空間では成り立たないが，フィルターで言い換えれば成り立つ．

命題４

位相空間 X において部分集合 A の閉包を \overline{A} とするとき， x \in \overline{A} と， Xにおけるフィルター \mathcal{F} で x に収束し A \in \mathcal{F} となるものが存在することは同値．

Proof. x\in \overline{A}とする．すると， x の任意の近傍 V \in \mathbf{V} (x) に対して A \cap V \neq \emptyset となる． \mathcal{B} := \{A \cap V \subset X \mid V \in \mathbf{V} (x) \} とおく． \emptyset \notin \mathcal{B}であり， V, W \in \mathcal{B} ならば V \cap W \in \mathcal{B}が成り立つ．なので， \langle \mathcal{B} \rangle := \{ V \subset X \mid ある W \in \mathcal{B} が存在して W \subset V\} と定めると， \langle \mathcal{B}\rangle はフィルターになる．特に，構成法から A \in \langle \mathcal{B} \rangle かつ \mathbf{V} (x)\subset \langle \mathcal{B} \rangle となるので， xに収束し Aを含むフィルターの存在が言えた．

\mathcal{F} は xに収束し Aを含むフィルターとする． \emptyset \notin \mathcal{F} なので， V, W \in \mathcal{F} に対して V \cap W \neq \emptyset である．特に， \mathbf{V} (x) \subset \mathcal{F} なので，任意の V \in \mathbf{V} (x) に対して V \cap A \neq \emptyset となる．よって， x \in \overline{A} となる． \square

この命題と証明から，フィルターを使っていく上で重要な二つの要素が見えてくる．まず， A \in \mathcal{F} となるフィルターは A に値をとる点列の類似と思える．そこで， X におけるフィルター \mathcal{F} が A \in \mathcal{F} を満たすとき，\mathcal{F} は A 上のフィルターと呼ぶことにする．

次に，証明で現れた \mathcal{B} はフィルターではないもののフィルターを生成することができる．このようなものを定義しておこう．

定義５（フィルター基）

集合 X に対して， Xの部分集合からなる空でない集合族 \mathcal{B} がフィルター基であるとは，以下が成り立つことをいう:

(i) \emptyset \notin \mathcal{B}

(ii) V, W \in \mathcal{B} ならば，ある U \in \mathcal{B} が存在して U \subset V \cap W ．

フィルター \langle \mathcal{B} \rangle := \{ V \subset X \mid ある W \in \mathcal{B} が存在して W \subset V\} を \mathcal{B} で生成されるフィルターと呼ぶ．

\mathcal{B} で生成されるフィルター \langle \mathcal{B} \rangle が x\in X に収束するとき，フィルター基 \mathcal{B} が x に収束すると言う．

関数 f \colon X \to Y と X におけるフィルター \mathcal{F} に対して，
\displaystyle \qquad f(\mathcal{F}):=\{ f(A) \subset Y \mid A \in \mathcal{F} \}
は Y におけるフィルター基ではあるがフィルターとは限らない．一方， Y のフィルター \mathcal{G} に対して，全ての B \in \mathcal{G} で f(X) \cap B \neq \emptyset となるならば，
\displaystyle \qquad f^{-1} (\mathcal{G}) := \{ f^{-1} (B) \subset X \mid B \in \mathcal{G} \}
は X におけるフィルターになる．

位相空間の連続性は収束という言葉で言えば随分直感的に言い換えることができる．

命題６

位相空間 X, Y と関数 f \colon X \to Y に対して， f が x \in X で連続なことと， x に収束する X における全てのフィルター \mathcal{F} に対して，フィルター基 f(\mathcal{F}) が f(x) に収束することが同値．

証明は省略． \square

つまり，連続な関数はフィルターの収束を保存するものである．

コンパクトとハウスドルフ

コンパクト性

フィルターは極限点を持つとは限らない．ギリギリまで細かいフィルターをしたものを極大フィルターと呼ぶ．

定義７（極大フィルター）

フィルター \mathcal{F} が極大フィルターであるとは，フィルター \mathcal{G} に対して， \mathcal{F} \subset \mathcal{G} ならば \mathcal{F} = \mathcal{G} が成り立つことを言う．
（つまり，極大フィルターとは自分より細かいフィルターが存在しないフィルターである．）

極大フィルターは具体的にどのようなものかイメージしにくい．それもそのはずで，極大フィルターの存在はZornの補題で示されるものだからである．

定理８

任意のフィルター \mathcal{F} に対して， \mathcal{F} より細かい極大フィルターが必ず存在する．

証明はZornの補題を使う． \square

さて，極大フィルターを使えば，コンパクト性が定義できる．

定義９（コンパクト）

位相空間 X がコンパクト であるとは，任意の極大フィルターが極限点を持つことである．

上の定理を使えば，コンパクトとは，フィルターを細かくすればある点に収束することと言える．これは，任意の点列は収束する部分列を持つと言う性質の類似だと捉えると良い．

チコノフの定理を証明するために，直積空間の定義を復習する．

定義１０（直積空間）

位相空間の族 (X_i)_{i\in I} の直積集合 X := \prod_{i \in I} X_i が直積空間であるとは， X の位相で全ての射影 \pi_i \colon X \to X_i が連続になる最弱の位相が X に定まっていることである．

直積空間は深入りすると面倒なので，必要な性質を証明なしで述べる．

定理１１

位相空間の族 (X_i)_{i\in I} とその直積空間 X := \prod_{i \in I} X_i に対して， Xにおけるフィルター \mathcal{F} が x \in X に収束することと，全ての i \in I に対して， X_i におけるフィルター基 \pi_i (\mathcal{F}) が x_i := \pi_i (x) に収束することが同値である．

Proof．前者が成り立てば後者が成り立つのは，射影 \pi_i が連続写像だから当然である．逆が難しい． \square

補題１２

集合 X, Y と写像 f \colon X \to Y について， X上の極大フィルター \mathcal{F} に対して， f(\mathcal{F} ) は Y における極大フィルターとなる．

以上のことを認めれば，チコノフの定理は自明である．

定理１３（チコノフの定理）

位相空間の族 (X_i)_{i\in I} とその直積空間 X := \prod_{i \in I} X_i を考える．全ての X_i がコンパクトなら，直積空間 X もコンパクトである．

Proof． Xにおける極大フィルターを \mathcal{F} とする．補題１２により， \pi_i (\mathcal{F} ) は X_i における極大イデアルである． X_i がコンパクトであるから， \pi_i (\mathcal{F} ) はある点 x_i に収束する．よって，定理１１により， \mathcal{F} は \pi_i (x) = x_i となる x \in X に収束する．以上により， X の極大イデアルは極限点を必ず持つから， X はコンパクトである． \square

ハウスドルフ性

ハウスドルフ性はフィルターを用いると以下のように定義できる．

定義（ハウスドルフ）

位相空間 X がハウスドルフであるとは， X における任意のフィルターが高々1つしか極限点を持たないことをいう．
（つまり，フィルターが2つ以上の極限点を持たない空間がハウスドルフ空間である．）

ハウスドルフ性自体も興味深いが，コンパクトや閉集合との関連でハウスドルフ性は重要である．以下ではイメージを重視した証明を述べるが，フィルターに慣れてきたら容易に厳密な証明に書き換えることができる．

命題１４

位相空間 X を考える． Xはコンパクトとする．このとき， X の部分集合 A が閉ならば， A はコンパクトである．

Proof．A がコンパクトであることを示すためには， A の極大フィルター \mathcal{F} が A に極限点を持つことを言えば良い． X はコンパクトであるから， \mathcal{F} を X における A 上のフィルターと見れば極限点 x \in X を持つ． A が閉であるから，命題４により A 上のフィルターの極限点は A に入る．以上により， A における極大イデアルは A に極限点を持つため， A はコンパクトである． \square

命題１５

位相空間 X を考える． X はハウスドルフとする．このとき， Xの部分集合 A がコンパクトならば， A は閉である． \square

Proof． A が閉であることを言うためには，命題４により， A上のフィルターの極限点が Aに入っていることを言えば良い．あるフィルターの極限点はより細かい極大フィルターの極限点になるので，極大フィルターのみを考えれば良い． A 上の極大フィルター \mathcal{F} は A がコンパクトであることから A に極限点を持つ．しかし， X がハウスドルフであることから他には極限点はない．つまり， A 上のフィルターの極限点は必ず A に入る．よって， A は閉である． \square

これらの命題を応用すれば，非常に面白いことが言える．その準備として，コンパクト集合の連続写像による像がコンパクトであることをみる．

命題１６

位相空間 X, Y とその間の連続写像 f \colon X \to Y を考える． X の部分集合 A がコンパクトならば， f(A) はコンパクトである．

Proof． f(A) の極大フィルター \mathcal{F} を考える． \mathcal{F} の引き戻し f^{-1} (\mathcal{F} ) を含むような A の極大フィルター \mathcal{G} をとると， A はコンパクトなので， \mathcal{G} は極限点 x \in A を持つ． f が連続なので， f(\mathcal{G}) は f(x) \in f(A) を極限点にもつ． \mathcal{F} は f(A) の極大フィルターだったので， \mathcal{F} = f(\mathcal{G}) となり， \mathcal{F} は極限点を持つ．つまり， f(A) の極大フィルターは極限点を持つことが示せた． \square

定理１７

位相空間 X, Y とその間の連続写像 f \colon X \to Y を考える． f が全単射で， X がコンパクト， Y がハウスドルフならば， f は位相同型写像である．

Proof． f^{-1} が連続写像であること，つまり， X の閉集合を Y の閉集合に移すことを見れば良い． X の閉集合 A をとると， X がコンパクトなので命題１４より A はコンパクトである． f は連続写像だから，命題１６より f(A) はコンパクトである． Y はハウスドルフだから，命題１５より f(A) は閉である．よって， f^{-1}が連続であることが言えた． \square

前位相空間

今回の記事の議論では，フィルターの収束だけで様々なことが言えた．フィルターの収束は近傍系から定義できる．そこで近傍系を一般化しても，収束だけで様々なことが議論できるということが想像できる．そのようなモチベーションで一般化したものが前位相空間である．

定義１８（前位相空間）

集合 X が前位相空間であるとは，各点 x \in X に対して、X の部分集合からなる空でない集合族 \mathbf{V} (x)が存在して以下が成り立つことをいう:

(i) すべての V \in \mathbf{V} (x) に対して， x \in V;

(ii) V \in \mathbf{V} (x) かつ V \subset W ならば W \in \mathbf{V} (x);

(iii) V, W \in \mathbf{V} (x) ならば V \cap W \in \mathbf{V} (x);

前位相空間 X におけるフィルター \mathcal{F} が x に収束するとは， \mathbf{V} (x) \subset \mathcal{F} が成り立つことをいう．
\mathbf{V} をフィルター場という．

つまり，収束を定める基準となるフィルターを各点に定めたものが前位相空間である．前位相空間においても，コンパクト性やハウスドルフ性を定義でき，これまでの議論は全く同様に行うことができる．

前位相空間をさらに一般化した空間も存在する．しかし，これ以上一般化すると，位相空間とのズレが大きくなるので，前位相空間で議論する論文も非常に多い．

さて，前位相空間は位相空間とは限らない．位相空間論で学ぶように，近傍系の性質(iv)が成り立つかどうかで，位相空間となるかが完全に決まるからである．この点をもう少し見てみよう．空間は，近傍系の他に開集合や閉集合，閉包作用素や開核作用素でも定義できるが，開集合と閉集合の公理は３つなのに対して，近傍系，閉包作用素，開核作用素の公理は４つであった．実はここに隠れた意味があるのである．

簡単のため，開集合の公理と閉包作用素の公理のみを復習する．

定義１９（開集合）

集合 X に対して，部分集合の族 \mathfrak{D} が開集合族であるとは，以下が成り立つことをいう:

(i) \emptyset \in \mathfrak{D} かつ X \in \mathfrak{D};

(ii) A, B \in \mathfrak{D} ならば A \cap B \in \mathfrak{D};

(iii) A_{\lambda} \in \mathfrak{D} ならば \bigcup_{\lambda} A_{\lambda} \in \mathfrak{D}．

定義２０（閉包作用素）

集合 X に対して，部分集合から部分集合への関数 \mathrm{Cl} \colon 2^X \to 2^X が閉包作用素であるとは，以下が成り立つことをいう:

(i) \mathrm{Cl} (\emptyset ) = \emptyset;

(ii) 任意の部分集合 A \subset X に対して，A \subset \mathrm{Cl} (A);

(iii) 任意の部分集合 A, B \subset X に対して，\mathrm{Cl}(A \cup B) = \mathrm{Cl} (A) \cup \mathrm{Cl} (B);

(iv) 任意の部分集合 A \subset X に対して， \mathrm{Cl} ( \mathrm{Cl} (A)) = \mathrm{Cl} (A);

さて，閉包作用素の公理(iv)を満たさないものを考える．

定義２１（擬閉包作用素）
集合 X に対して，部分集合から部分集合への関数 \mathrm{Cl} \colon 2^X \to 2^X が擬閉包作用素であるとは，以下が成り立つことをいう:

(i) \mathrm{Cl} (\emptyset ) = \emptyset;

(ii) 任意の部分集合 A \subset X に対して，A \subset \mathrm{Cl} (A);

(iii) 任意の部分集合 A, B \subset X に対して，\mathrm{Cl}(A \cup B) = \mathrm{Cl} (A) \cup \mathrm{Cl} (B);

近傍系と閉包作用素は以下の関係で結びついていた．
\displaystyle \qquad \mathrm{Cl} (A) = X \setminus \{x \in X \mid X \setminus A \in \mathbf{V} (x) \} \\ \qquad \mathbf{V} (x) = \{ A \subset X \mid x \in X \setminus \mathrm{Cl} (X \setminus A) \}
実は，上の関係を使えばフィルター場と擬閉包作用素が１対１に対応しているのである．

定理２２

集合 X に対して，フィルター場と擬閉包作用素が１対１に対応する．

位相のときの証明を(iv)を使うかどうかに注意すれば良い．

よって，前位相空間では閉包が閉とは限らない．これが前位相空間が位相空間と違う部分である．

参考文献

フィルターを使った議論に興味を持たれた方には．
柴田敏男『集合と位相空間』（共立出版）
N. Bourbaki, "General Topology"
をオススメする．私が書いたpdfでよければ，
tetobourbaki.hatenablog.com
からダウンロードできる．正直なところあまり正確に書けていないが，省略した証明は書いたはずである．（定義が少し違うものがあるので注意せよ．）

収束空間や前位相空間について書かれている本はほとんどないが，
R. Beattie, H, P. Butzmann, "Convergence Structures and Applications to Functional Analysis"
が良書だと思う．uniさんの素晴らしいpdf
unununum.hatenablog.com
も参考にしていただきたい．あと，どこかの大学のMaster論文
Raed Juma Hassan Shqair, "On The Theory of Convergence Spaces"
も検索すれば出てくる．基本的なところから書いていて読みやすいし，新しい結果も踏まえて書かれていて，参考文献も役に立つ．

収束空間に関しては，今後，詳しい内容を書いて何らかの形で発表したいと思っています．

数学のpdfを書いています

数学 微分ガロア理論

書きながら公開している数学のpdfをブログでも見れるようにしようと思います。

・微分ガロア理論入門
微分ガロア理論をほとんど前提知識を仮定せず解説しています。
微分ガロア理論入門 - Google ドライブ

微分ガロア群を定義したところまで進んでいます。次は線形代数群の性質を使って、微分ガロア群の性質を考えていきます。

・フィルターと一様構造
『位相のこころ』や『森毅を主題とする変奏曲』に書いていることを理解するために、自分なりにまとめたメモです。一通り理解できたと自分なりに満足したところで、他の人にも読めるように書き直しをしようと思っています。
filter.pdf - Google ドライブ

・リンデレーエフの注意について
岡本和夫『パンルヴェ方程式』のゼミをスカイプでやっているのですが、その時にちゃんと説明できなかったことを自分なりにまとめたものです。
L.pdf - Google ドライブ

・
tetobourbaki.hatenablog.com

新入生に勧める数学書2018

数学 書評

ツイッターで大学新入生にオススメの数学書を、ハッシュタグ #新入生に勧める数学書2018 で募集しました。


皆さんのオススメの本を抜粋して紹介します。

参加してくださった皆様、ありがとうございました。
（ツイートの掲載は許可をとっています。了承していただいた皆さん、ありがとうございました。）

はじめに

こんな企画を始めたものの、知らない人が勧める本にすぐに飛びつくのではなく、著名な数学者が勧める本をまずは本屋で見て欲しいと思います。
それを知るには、ちょうど、毎年この時期に出る『数学ガイダンス２０１８』がオススメです。
数学者が勧める本の紹介や、数学の各分野の紹介、大学での勉強法などがまとめられています。
（とは言え、ツイッターで紹介してくださった多くの本は、この本でも紹介されています。）

あと、個人的な意見を少し。
大学で使う教科書には、４年やそれ以上の長い期間使い続けることができるものがあります。
いわゆる名著と呼ばれる本や大学で勧められる本はそういうものが多いです。
最初は、自分で理解できるように平易に書かれた簡単な本を買いがちですが、そういう本は半年もすれば必要なくなることも多いです。
なので、是非とも長年読み続けられてきた名著を、最初は理解できなくても、買っておいて折にふれてチャレンジして欲しいです。
これは難しい本を読めと言っているのではないです。
また、もちろん自分で理解できる本から始めることも大事ですし推奨しますが、分かりやすさという基準では捕らえられない数学書の価値も知って欲しいところです。

あと、大学の図書館を有効活用して欲しいですね。
本を買うときは、本屋や図書館でちゃんと自分で見てからにしましょう。

一般

高校数学と大学数学ではギャップを感じることが多いと思います。そのギャップを埋めてくれる本や、数学の面白さを伝える本を見ていきましょう。
☆数学ガール シリーズ


数学ガールで数学が好きになった人は多いようです。大学生でも読んだことがなければ是非とも読んで欲しいです。
たくさん本が出ていて何を買えばいいのか分からない場合は、以下のページを参考にしてください。

☆ オイラーの贈り物

☆志学数学


この本は、本当にオススメです。
大学生に限らず、数学者や研究者に憧れている人や数学に興味がある人は是非とも読んでみてください。

☆数学の大統一に挑む


数学の最先端を知ることができる本はなかなかありません。
いろんな概念を出来るだけ易しく解説しているので、すべて読み通すのは難しいかもしれませんが、是非とも手にとって読んで欲しい本です。

微積分

微積分は名著と呼ばれる和書が多いです。
以下の高木、小平、杉浦の三冊のうち気に入ったものを買っておいて損はしないと思います。

☆解析概論


「取り敢えず、高木貞治さんの解析概論を読んでおけば微積の授業で困る事は無くなるはずです！」
という意見もありました。
著者の高木貞治は近代日本数学の父とも呼ばれています。
昔から長年読まれ続けてきた本であり、一番有名な数学書だと思います。
実はそれほど難しいわけでもないですが、新しい本に比べると書き方の面で読みづらいかもしれません。

☆解析入門I II （杉浦光夫）



私が勉強したのもこの本でした。
難しいところがたくさんありますが、普通の本には書いていないけど大事なことがたくさん書いてあります。
数学の力をつけたい人や、授業では分からなかったことを調べるのにもオススメです。

☆解析入門I II （小平邦彦）


小平先生はフィールズ賞をとった数学者です。
丁寧に書かれていて、分かりやすさも重視されている本です。

上の三冊が有名ですが、難しい場合には以下の本を紹介している方がいました。
☆解析入門 （ラング）



この本自体は、私はちゃんと読んだことがありませんが、ラング先生はたくさんの本を書かれていて、私は"Algebra"をよく読みます。
数学を続けていけば、この本ではなくてもラング先生の本を読むことになるのではないでしょうか。

他にもたくさんの本が紹介されていました。
☆解析入門1-6 （松坂和夫）
https://twitter.com/Annihilated_Uni/status/971243338669215745

☆微分積分（黒田成俊）

☆対話 微分積分学（笠原晧司）


☆解析学入門（福井常孝／上村外茂男／入江昭二／宮寺功／前原昭二／境正一郎）

☆解析入門 （田島一郎）

☆イプシロン-デルタ （田島一郎）



私は読んだことがないのですが、この本は有名ですね。
イプシロンデルタ論法は最近授業で扱われないことも多いそうですが、早いうちに理解できると楽しいです。
（はじめは難しく感じるかもしれませんが、実は難しくないので、数学を勉強しているうちに絶対に理解できます。分からなくても落ち込む必要ないと思います。）

線形代数

線形代数は本当にたくさんの本があります。
基本的には授業で紹介される本を使うと良いと思いますが、それでは分からないと思った時には、評判のいい本や自分の気に入った本を使うと良いでしょう。
☆線形代数入門（斎藤正彦）



☆線形代数学（佐武一郎）



☆線形代数（長谷川浩司）

☆線形代数学（三宅敏恒）

副読本的な本も紹介しておきます。
☆はじめてのリー群
☆はじめてのリー環


線形代数は本当にいろんな分野で役に立ちます。
リー群やリー環はその典型例で、これ自体が非常に大切な概念です。
これらの本は線形代数を復習しながら、その使い方も分かるように書かれています。

☆２次行列のすべて


今の高校生は高校で行列を学びませんが、この本は高校の行列で教えられていたことに加えて、大学の線形代数で勉強することを２次行列に限定して一通り勉強できるようになっています。

代数学(整数)

代数学は大学に入ったばかりでは授業がないですが、興味がある人が多いと思います。整数の本もここで紹介しておきます。

☆数論への招待

☆初等整数論講義

☆代数学（雪江 明彦）

みんな大好きガロアの本も紹介されていました。

☆ガロアと方程式

☆代数と数論の基礎
☆代数方程式とガロア理論

幾何

大学に入ったばかりでは幾何の授業があまりないため、それほど幾何の本は紹介されていませんでした。
しかし、小林昭七先生の以下の本を紹介する人は多かったです。

☆曲線と曲面の微分幾何


この本は具体例が豊富で非常に分かりやすいです。
抽象的な幾何でつまずいている人や幾何に興味がある人はこの本でトレーニングするといいと思います。

☆微分形式の幾何学


この本は私からもオススメします。
最初、幾何で困ったらこの本を読んでいました、この本以上に頼れる本はないです。
入学したばかりではピンとこないかも知れませんが、頭の片隅に置いておいて欲しいです。

集合と位相

数学科で勉強する集合や位相といった分野は、高校とのギャップが最も大きい分野だと思います。

☆集合・位相入門


位相と言えば真っ先にあがる本です。
私もこれで勉強しました。
分かりやすく書いているわけではないですが、丁寧に書かれていて、ゆっくり読めばちゃんと分かるようになっています。

☆集合と位相



この本は分かりやすいとすごく評判の本ですね。
誰にも勧められる本はこれだと思います。

☆トポロジー入門

この本も非常に分かりやすいと評判です。
授業や他の本で挫折した時には是非この本を手にとって欲しいです。

みなさんのアドバイス

本に限らずアドバイスを書いてくださった方もたくさんいましたので、まとめておきます。


その他

上で紹介した枠組みには入らないような本やちょっと変わった本の紹介もありました。いい本ばかりなのでまとめておきます。
☆ 最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。


カクヨムで連載中の小説の書籍化です。
少しふざけた本のように見えるかもしれませんが、数学の本として本当にいい本だと思います。（私も持っています。）
連載記事は以下で無料で見ることもできます。書籍版は書き下ろしの短編が入っています。
kakuyomu.jp

☆本質から理解する数学的手法


この本は知らなかったですが、目次を見たところ、まさに新入生にぴったりの本ですね。

☆数学文章作法 基礎編


数学ガールの著者による数学の文章の書き方の本です。
この本も非常にいいです。

☆30講シリーズ


このシリーズを読んで理解できたと言っている人を普段もよく見ます。
授業が分からなくなった時には、このシリーズの本を読むことをお勧めします。

☆マセマシリーズ


問題を解きながら重要な概念を理解していくことができます。
ちゃんとした教科書を買った上でこの本で訓練するといいと思います。

☆数理解析学概論


大学の数学で勉強する様々な分野がこれ一冊で勉強できます。
とは言え、この本の最大の特徴は解析学の説明です。
解析学の微分方程式への応用は大学の数学でもなかなかたどり着けないのですが、現代数学で非常に重要な部分を占めています。
それを知るには最適な本だと思います。

☆数理論理学


この本は僕が数学を好きになったきっかけの本でもあってオススメしたいところです。
完全性定理や不完全性定理などは聞いたことがあるかもしれませんが、そのようなことも書いています。

☆非線形ダイナミクスとカオス


力学系の本の中で最も易しく書かれている本だと思います。
力学系自体も面白いですし、解析がどのように応用されるかを知っておくと、発展的な内容を勉強するモチベーションにもなると思います。

☆Lawvereの書籍
https://twitter.com/WatanabeYohei/status/972112043930140672
圏論を知っていると、いろんな分野のつながりが良くわかるようになります。
例をあまり知っていない状態で圏論だけを勉強してもなかなか分かるようにはなりませんが、他の数学と一緒に少しずつ勉強していくと良いと思います。
最近は入門書やネットで読める易しい解説も多く、勉強しやすいと思います。

☆カラー図解 数学事典


これも新入生にオススメの本です。
少し高価なので、合格祝いに買ってもらいましょう。

☆LaTeX2ε 美文書作成入門

LaTeXを使えば、数式が綺麗に書けます。
理系ならいつかこの本を買うことになると思います。

☆数学女子


数学科の雰囲気が分かる漫画です。